Дифракция волн Естественный и поляризованный свет Строение атомного ядра Закон радиоактивного распада Дифракционная решетка Электромагнитная природа света

Физика Курс лекций и примеры решения задач

Опыт Франка Герца. Изучая методом задерживающего потенциала столкновения электронов с атомами газов, экспериментально было доказано, что значения энергии атомов дискретны.

Принципиальная схема их установки приведена на рис. Вакуумная трубка, заполненная парами ртути (давление приблизительно равно 13 Па), содержала катод (К), две сетки (С1 и С2) и анод (А). Электроны, эмитируемые катодом, ускорялись разностью потенциалов, приложенной между катодом и сеткой С1. Между сеткой С2 и анодом приложен небольшой (примерно 0.5 В) задерживающий потенциал. Электроны, ускоренные в области 1, попадают в область 2 между сетками, где испытывают соударения с атомами паров ртути. Электроны, которые после соударений имеют достаточную энергию для преодоления задерживающего потенциала в области 3, достигают анода. При неупругих соударениях электронов с атомами ртути последние могут возбуждаться. Согласно боровской теории, каждый из атомов ртути может получить лишь вполне определенную энергию, переходя при этом в одно из возбужденных состояний.

Из опыта следует, что при увеличении ускоряющего потенциала вплоть до 5 В анодный ток возрастает монотонно, его значение проходит через максимум, затем резко уменьшается и возрастает вновь.

тельного ядра, имеющего заряд Ze (Z – порядковый номер эл-та в системе Менделеева, е

-- элементарный заряд), размер 10-15 -10-14 м и массу , практически равную массе атома, в

области с линейными размерами порядка 10-10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образую электронную оболочку атома. Так атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т.е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов. 53. Постулаты Бора. Первая попытка построить качественно новую – квантовую --теорию атома была предпринята Бором. Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда (Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z – порядковый номер эл-та в системе Менделеева, е -- элементарный

заряд), размер 10-15 -10-14 м и массу , практически равную массе атома, в области с

линейными размерами порядка 10-10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образую электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т.е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов) и квантовый характер излучения и поглощения света. Два постулата: Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме


56. Опытное обоснование Волного Дуализма

Вскоре гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1927 г. американские физики К. Дэвиссон (1881 — 1958) и Л. Джермер (1896 — 1971) обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки — кристалла никеля,— дает отчетливую дифракционную картину. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа — Брэггов (182.1), а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по формуле (213.2). В дальнейшем формула де Бройля была подтверждена опытами П. С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (энергия «50 кэВ) через металлическую фольгу (толщиной ж 1 мкм). Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, то необходимо было доказать, что волновые свойства присущи не только потоку большой совокупности электронов, но и каждому электрону в отдельности. Это удалось экспериментально подтвердить в 1948 г. советскому физику В. А. Фабриканту (р. 1907). Он показал, что даже в случае столь слабого электронного пучка, когда каждый электрон проходит через прибор независимо от других (промежуток времени между двумя электронами в 104 раз больше времени прохождения электроном прибора), возникающая при длительной экспозиции дифракционная картина не отличается от дифракционных картин,

57. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя.

В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно

соотношению неопределенностей Гейзенберга,

микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (рх, ру, рг), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям, т.е. произведение координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Из соотношения неопределенностей (215.1) следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты ( \х = It), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопределенной (Др, -* оо ), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность



микрочастиц описывается принципиально по-новому — с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна

dll^lVl'dV.

Величина

m2=dlt7dV

(квадрат модуля Мг-функции) имеет смыслу
плотности вероятности, т. е. определяет
вероятность нахождения частицы в единичном
объеме в окрестности точки с координатами х, у, z.
Таким образом, физический смысл имеет не
сама ^--функция, а квадрат  ее

модуля.-К I , которым задается интенсивность волн де Бройля.

Вероятность найти частицу в момент времени в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна

W

= \ dW=\ \V\2dV.

62. Движение свободной частицы.

При движении свободной частицы (U(x) = 0) ее полная энергия совпадает с кинетической. Для свободной частицы, движущейся вдоль оси х, уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний примет вид

И (219.1)

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения i (219.1) является функция ф (х) = А е' л, где A=const и к = const, с собственным значением энергии

C = ft& / (2т). (219.2) Функция г£ (х) =Л е'к* = А е('/'•)v^ni^'

представляет собой только координатную 4асть волновой функции lF (xt t). Поэтому зависящая от времени волновая функция, согласно (217.4),

Ч^х, i)=A е-'щ'+'"** = Л eH'/*)t«~ft«)

(219.3)

(здесь  ш = £/Л И ft = pj/ft). Функция (219.3) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля (см. 217.2)). Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса

£ = £V/(2m) =оУ(2т1

pi/[2т]

оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной

63.Частица в яме. Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где / — ширина «ямы», а энергия отсчиты-вается от ее дна (рис. 296).

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

На границах

«ямы» (при х = 0 — (£— U) Ц> = 0.

и х = /) непрерывная
волновая функция

также  должна

t(0)=*(/)=0.

обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

58. Волновая функция и ее статистический смысл

W~\W (x, yt г, l)\'

Немецкий физик М. Борн в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая V (х, у, 2, ().Эту величину называют также волновой функцией (или 4Г -функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля: - функция, комплексно

сопряженная с *¥■).
Таким образом, описание
состояния микрообъекта с помощью волновой
функции имеет статистический, вероятностный
характер: квадрат модуля волновой функции
(квадрат модуля амплитуды волн де Бройля)
определяет вероятность нахождения частицы в
момент времени в области  с

координатами

* и х-\-дх, у и y-\-dy, z и z-\-Az.

получаемых при короткой экспозиции для потоков электронов, в десятки миллионов раз более интенсивных. Следовательно, волновые свойства частиц не являются свойством их коллектива, а присущи каждой частице в отдельности.

Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказательством наличия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле де Бройля (213.2). Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению и развитию новых методов исследования структуры веществ, таких, как электронография и нейтронография (см. §182), а также к возникновению новой отрасли науки — электронной оптики.



Общее решение дифференциального уравнения :

ф [х) = А sin kx + B cos kx.

Так как по (220.2)10 (0) = 0, ТО В = 0 Тогда

l|)(jc) = ,4 Sin kx. (220 5)

Условие if (J) = j4 Sin fe/ = 0 (220.2) выполняется только при к I == Л Л, где п — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

/f = fITl/(. (220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что

£„ = ^1,„_,.2,з,..,,

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еп 'зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия £„ частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется. Квантованные значения энергии Еп называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне £„, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства.

Итак, в квантовой механике состояние

условие нормировки вероятностей, где данный

интеграл (216.3) вычисляется по всему

бесконечному пространству, т. е. по координатам

х, у, г от -∞ до ∞. Таким образом, условие

(216.3) говорит об I

объективном f I ijr | 2 ^ у _ |

существовании

частицы во

времени и пространстве.

Чтобы волновая функция являлась объективной

характеристикой состояния микрочастиц, она

должна удовлетворять ряду ограничительных

условий. Функция •?•, характеризуя вероятность

обнаружения действия микрочастицы в элементе

объема, должна быть конечной (вероятность не

может быть больше единицы), однозначной

(вероятность не может быть неоднозначной

величиной) и непрерывной (вероятность не может

изменяться скачком). Волновая функция

удовлетворяет

принципу суперпозиции: если система может

находиться в различных состояниях,

описываемых волновыми функциями Vi,

tj т»,. . .., то она также может находиться в

состоянии тт.. описываемом линейной комбинацией этих функций:-


ость вероятности обнаружения частицы Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде

I

А* [ sin2 —— х дх= I.

«

В результате интегрирования получим

л = v"2//.

а собственные функции будут иметь вид

Г*»(*>-

(и = 1. 2, 3.

№ 1.1.3.

В основе электрокардиографии лежат дипольные представления о сердце, в соответствии с которыми сердце – электрический диполь, изменяющий свое положение в пространстве за время сердечного цикла. Определить напряженность поля, создаваемого диполем сердца на его оси на расстоянии r = 3 см от его центра. Дипольный момент сердца принять равным р = 1,5∙10-18 Кл∙м.

Решение

Напряженность поля вдоль оси электрического диполя определяется выражением

,

где р – дипольный момент, r – расстояние от центра диполя до рассматриваемой точки, ε0 = 8,85∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Подставляя численные значения, получим:

.


Дифракция ренгеновских лучей на пространственной решетке