Источник ЭДС и источник тока Линейные цепи синусоидального тока Неразветвленная цепь синусоидального тока Комплексный метод расчета цепей Переходные процессы в электрических сетях Параллельное соединение нелинейных элементов

Решение задач по электротехнике и электронике

Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока

  Широкое распространение на практике получил метод расчета цепей синусоидального тока, который принято называть комплексным. Сущность метода состоит в том, что синусоидальные токи, напряжения и ЭДС изображаются комплексными числами, а геометрические операции над векторами заменяются алгебраическими операциями над комплексными числами. Этот метод позволяет рассчитывать цепи синусоидального тока алгебраически аналогично цепям постоянного тока.

Векторное представление синусоидальных величин

Вращающийся вектор, который изображает синусоидальную функцию, можно поместить на комплексную плоскость, в систему перпендикулярных осей:   – действительных чисел,  – мнимых чисел. Положительные направления осей на комплексной плоскости обозначаются индексами: +1 – ось действительных чисел; + – ось мнимых чисел, где = – мнимая единица (рис. 2.17).

  а) б) в)

Рис. 2.17

 Известно, что координаты точки на комплексной плоскости определяются радиусом–вектором этой точки, т.е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу (рис. 2.17 а).

 Показательная форма записи

где  – модуль; – аргумент или фаза, отсчитываемая от оси +1 против часовой стрелки.

 Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую и соответственно алгебраическую форму записи комплексного числа:

,

где .

 Очевидно

.

 Заменим в уравнении для показательной формы записи  на , а на . Получим комплекс тока

,  (2.39)

который является символическим (комплексным) изображением функции  и называется комплекс мгновенного значения тока.

 Комплексы обозначаются теми же буквами, что и их действительные оригиналы, только с чертой внизу. Модуль комплекса мгновенного значения   равен амплитуде синусоидального тока , а его переменный аргумент () является аргументом изображаемой синусоиды (рис. 2.17 б). Из формулы (2.39) можно записать комплекс тока в тригонометрической форме

,

а также получить изображение функции (оригинала)

,  (2.40)

т.е. мгновенное значение тока равно мнимой части комплекса мгновенного значения тока. Ток (2.39) можно представить в виде

,

где  является другим символом, называемым комплексом амплитудного значения. Это аналитическое представление неподвижного вектора, длина которого равна амплитуде тока, а угол между направлениями вектора и осью «+1» на комплексной плоскости равен начальной фазе   (рис. 2.17 в). Комплексом действующего значения называют изображение

  Пример 2.2. Записать комплексы действующих значений напряжения и тока, если их мгновенные значения представлены уравнениями

, А.

 Решение. Действующее значение напряжения =200 В, начальная фаза  = –120°. В соответствии с определением комплекс действующего значения напряжения

  В.

 Аналогично для тока  = 14,1 А, начальная фаза тока  = –60°, а комплекс тока

  А.

 Пример 2.3. Для комплекса действующего значения напряжения

  B

записать мгновенное значение.

 Решение. От алгебраической формы переходим к показательной

  B,

где  В; .

Комплекс находится во второй четверти комплексной плоскости.

 Мгновенное значение напряжения

, B.

 В заключение рассматриваемого вопроса рекомендуем усвоить следующие очевидные равенства

;  и т.д.

;

.

 Отметим, что умножение на оператор  означает поворот вектора на 90° против часовой стрелки, а умножение на  означает поворот вектора на 90° по часовой стрелке.

Пример. Определить действующее значение входного тока по известным токам в параллельных ветвях (риc. 2.15 а) = 3 A; = 1 A; = 5 A. Решение находим по первому закону Кирхгофа

Комплекс полного сопротивления и комплекс полной проводимости. Законы Кирхгофа в комплексной форме

Электрические цепи с взаимной индуктивностью


Работа электрической машины постоянного тока в режиме генератора