Типовые задачи по начертательной геометрии и методы их решений Построить проекции линии пересечения двух плоскостей Типовые задачи по инженерной графике Технический рисунок Конспект лекций по дисциплине начертательная геометрия

Метод вращения. Вращение плоскости вокруг линии уровня

Сущность метода состоит в том, что положение плоскостей проекций и направление проецирования не изменяются, а данные геометрические фигуры перемещаются в пространстве до принятия ими частного положения по отношению к данной системе плоскостей проекций.

Рассмотрим в пространстве вращение точки А вокруг оси i и определим элементы вращения, которые необходимо знать, чтобы осуществлять вращение в пространстве и на эпюре (рис. 1.6). 1. Точка А, вращаясь вокруг оси i, опишет окружность, лежащую в плоскости вращения b, проходящей через эту точку и перпендикулярной оси вращения i(b^i). 2. Центр O вращения точки А является центром окружности и поэтому лежит в плоскости b, но в то же время, центр вращения О должен лежать и на оси вращения i. Поэтому, центром вращения точки является точка пересечения оси вращения i с плоскостью вращения b, то есть (×)О=i∩b 3. Радиус вращения точки равен расстоянию от центра вращения этой точки до самой точки R=│OA│, причём, решая задачу на эпюре, необходимо находить натуральную величину радиуса вращения.

Элементы, определённые в п.п. 143 настоящего параграфа, составляют основы способа вращения и поэтому должны всегда определяться при

различных положениях оси вращения i по отношению к плоскостям проекций.

Для выполнения домашней работы по начертательной геометрии на тему: «Гранные поверхности» необходимо уметь определять натуральную величину плоскости общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми – горизонталью и фронталью α(h∩f).

Поэтому, далее рассмотрим, как применяются правила, изложенные

в п.п. 143 при вращении плоскости общего положения вокруг оси i, которая занимает частное положение, то есть расположена параллельно плоскости П1, являясь горизонталью заданной плоскости.

Решим следующую задачу: дана плоскость α(h∩f). Требуется определить натуральную величину угла при вершине М.

За ось вращения в данной задаче примем горизонталь h (см. рис. 1.7). Для определения натуральной величины угла, необходимо заданную плоскость повернуть вокруг оси i≡h до положения α¢, параллельного плоскости П1, то есть до совмещения с плоскостью уровня, проходящей через h(α¢≡h). Заметим, что все точки горизонтали, включая и заданную точку M, принадлежат оси вращения i и, следовательно, при вращении будут оставаться неподвижными.

Поэтому, для определения нового положения плоскости α¢││П1, достаточно определить новое (повёрнутое) положение любой точки, принадлежащей фронтали f. В рассматриваемой задаче (рис. 1.7 и 1.8) такой точкой будет точка Е (Е2Îf2; E1Îf1).

Определим элементы вращения точки Е вокруг оси i≡h:

1. Построим плоскость вращения точки Е вокруг оси i (b^i; b^П1; b1^h1).

  2. Определим центр вращения – точку О. (×)О=b∩h (b1∩i1=(×)О1;

(×)О1↑h2=(×)О2).

 3. Определим радиус вращения точки Е вокруг оси i. R=│OE│ (O1E1; O2E2).

Заметим, что решая задачу на эпюре (рис. 1.8), необходимо знать натура-льную величину радиуса вращения. Так как прямая ОЕ является прямой обще-го положения, определим натуральную величину отрезка ОЕ. В данной задаче натуральная величина радиуса ОЕ определена с помощью прямоугольного треугольника Е1О1Е0, где катет О1Е0 равен разности удалений концов отрезка ОЕ от плоскости П1, то есть разности DZ, а гипоенузой Е1Е0 треугольника

Е1О1Е0 будет натуральная величина радиуса вращения точки Е вокруг оси i.

Траектория вращения точки Е вокруг оси i спроецируется на плоскость П2 в виде эллипса, все точки которого будут принадлежать плоскости b(b^П1). Нас же интересует вращение точки Е только до её совмещения с плоскостью уровня α¢(), параллельной плоскости П1 и проходящей через ось i≡h (см. рис. 1.7). При повороте точки Е радиус R займёт положение R¢││П1, точка Е – положение Е¢, а горизонтальная проекция Е1 точки Е займёт положение .

Отрезок , являющийся горизонтальной проекцией R¢,  равен натуральной величине . Таким образом, для построения горизонтальной проекции плоскости α¢(││П1), достаточно на b1 отложить отрезок  и соединить полученную точку  с горизонтальной проекцией М1 неподвижной точкой М. Так определится новое  повёрнутое положение фронтали f и, как результат, повёрнутое до частного положения (α¢││П1) новое положение заданной плоскости α.

  Так как α¢() займёт частное положение, то все элементы такой плоскости спроецируются на эту плоскость в натуральную величину.

Замечение. Обратимся ещё раз к рис. 1.8 и заметим, что фронталь f, расположенная параллельно плоскости П2, на эту плоскость проецируется в натуральную величину. В новом повёрнутом положении все элементы, принадлежащие заданной плоскости, также проецируются в натуральную величину. Следовательно, натуральной величиной будет и фронталь , а значит, отрезок . Поэтому точку  можно построить, не определяя центр и радиус вращения точки Е, а только, сделав из точки М1 радиусом R¢¢=│M2E2│ засечку на следе b1, получим новое совмещённое  положение точки Е.

Далее, соединяя точку М1 и точку , получим новое  повёрнутое положение заданной фронтали f, а так как горизонталь h≡i была неподвижна, то следовательно, и новое положение α¢(h∩) будет параллельным плоскости П1


Начертательная геометрия и инженерной графике Примеры, задачи