Типовые задачи по начертательной геометрии и методы их решений Построить проекции линии пересечения двух плоскостей Типовые задачи по инженерной графике Технический рисунок Конспект лекций по дисциплине начертательная геометрия

ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВИДИМОСТИ

Известно, что для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо определить либо две точки, общие для этих плоскостей, либо одну точку и направление линии пересечения. Рассмотрим частные случаи пересечения плоскостей.

Пример 1. Построить линию пересечения TR плоскостей α (a∩b) и γ (γ ^ П1); α ∩ γ = TR (рис. 4.1).

Так как плоскость γ – плоскость проецирующая, то горизонтальная проекция линии пересечения T1R1 совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией плоскости γ, то есть T1R1 совпадает со следом γ1(γ1≡T1R1). Следовательно, чтобы определить точки, общие для двух плоскостей, необходимо найти точки пересечения следа γ1 с горизонтальными проекциями a1 и b1 прямых a и b, задающих плоскость α; γ1∩a1=(•)T1, γ1∩b1=(•)R1. Далее, по линиям проекционной связи строим фронтальные проекции T2 и R2 точек T и R, принадлежащих, соответственно прямым a2 и b2. Соединив одноимённые проекции точек T2 и R2, получаем фронтальную проекцию T2R2 линии пересечения TR двух заданных плоскостей, α ∩ γ = TR.

Пример 2. Построить линию пересечения t плоскости α (AC∩AB) и плоскости γ (γ││П1); α ∩ γ = t (рис. 4.2).

Анализ чертежа показывает, что прямая AB занимает частное положение, то есть является горизонталью плоскости α, (AB││П1). Так как заданная плоскость γ также занимает положение, параллельное плоскости П1, то линия t – линия пересечения заданных плоскостей должна быть параллельна горизонтали AB заданной плоскости α и проходить через общую точку 1.

Нахождение этой точки не вызывает затруднений, так как плоскость γ, являясь плоскостью частного положения, задана вырожденной фронтальной проекцией, то есть следом γ2. Следовательно, фронтальная проекция 12 общей точки 1, принадлежащая заданной плоскости α и плоскости γ, будет определяться как пересечения следа γ2 с фронтальной проекцией A2C2 прямой AC, γ2 ∩ A2С2 = (•)12.

Горизонтальная проекция 11 точки 1 принадлежит горизонтальной проекции A1С1 прямой AC. Горизонтальная проекция t1 линии пересечения пройдёт через горизонтальную проекцию 11 точки 1 и должна быть параллельна горизонтальной проекции A1B1 прямой AB, (t1││A1B1).

Пример 3. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения.

Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения α и β (рис. 4.3). Для определения общих точек, принадлежащих линии пересече-ния, необходимо заданные плоскости пересечь двумя вспомогательными плоскостями-по-средниками частного положения.

В качестве таких плоскостей целесообразно взять плоскости проецирующие, или плоскости уровня. На рис. 4.3 первая вспомогательная плоскость уровня γ пересекает каждую из данных плоскостей по горизонталям 1-2 и 3-4, которые, взаимно пересекаясь, определяют точку T, общую для плоскостей α и β, а значит принадлежащую линии их пересечения.

Пересекая заданные плоскости α и β второй вспомогательной плоскостью δ, расположенной так же параллельно плоскости П1, получим ещё одну точку R, общую для плоскостей α и β. Эта точка определяется пересечением горизонталей 5-6 и 7-8, по которым вспомогательная плоскость δ пересекает каждую из данных плоскостей. Соединив точки T и R, получим искомую линию пересечения TR = α ∩ β.

Описанный метод использован для эпюрного построения проекций линии пересечения двух плоскостей общего положения, первая из которых α задана двумя пересекающимися прямыми a и b, а вторая β – треугольником ABC; α(a ∩ b) ∩ β(ABC)=TR.

При решении задачи используем в качестве вспомогательных секущих плоскостей плоскости, занимающие частное положение в пространстве, а именно горизонтальные плоскости уровня. Так, с помощью вспомогательной плоскости γ найдена точка T, в которой пересекаются горизонтали 1-2 и 3-4.

Некоторых упрощений на эпюре можно достичь, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. Так, в рассматриваемом примере целесообразно провести вторую секущую

плоскость δ (δ ││П1) через сторону AB, которая является горизонталью плоскости β. С помощью плоскости δ определена вторая точка R линии пересечения. Eё горизонтальная проекция R1 найдена на пересечении горизонтальной проекции 51-61 линии 5-6 и горизонтальной проекции A1B1 линии AB.

Соединяя одноимённые проекции найденных точек T и R, получим проекции искомой линии пересечения заданных плоскостей α ∩ β = TR.

Необходимо обратить внимание студентов на то, что если вспомогательные плоскости параллельны между собой, то есть γ ││ δ, то одноимённые проекции линий пересечения заданных плоскостей и вспомогательных должны быть соответственно параллельны, то есть 11-21││51-61, а 31-41││A1B1.

Пример  4. Построить линию пересечения двух треугольников и указать их относительную видимость.

На эпюре (рис. 4.5) заданы две плоскости общего положения α(QEF) и β(MNR). Линию пересечения плоскостей можно построить, применяя к решению задачи проецирующие плоскости-посредники. Причём, проецирующие плоскости целесообразно проводить через стороны любого из треугольников. Этот приём ведёт к упрощению графического решения задачи на эпюре.

Чтобы выявить через какую из сторон рациональнее проводить эти плоскости, необходимо по эпюру определить, какие стороны одного треугольника пересекают плоскость другого треугольника, а точки пересечения не выходят за контуры ни одного из треугольников. Эпюрным признаком существования такой точки, например, для стороны QF и плоскости треугольника MNR, является изменение её видимости в ок-рестностях двух пар конкурирующих точек 7-8 и 5-6 (см. рис. 4.5).

Перечислив стороны двух треугольников (QE, QF, EF и MR, MN, NR), следует исключить из этого списка стороны, которые имеют хотя бы

одну свою проекцию, лежащую в стороне от контуров другого треугольника, поскольку эти стороны не меняют своей видимости. На рис. 4.5 видно, что проекции сторон E2F2 и M2R2 лежат вне контуров треугольников. Следовательно, их точки пересечения находятся вне заданных треугольников, а сами стороны (EF и MR) необходимо исключить из списка сторон, через которые целесообразно проводить плоскости-посредники. Далее, из четырёх оставшихся (MN, NR, QE, QF) сторон надо выбрать две, через которые целесообразно проводить плоскости посредники.

Для этого выполним анализ видимости сторон одного треугольника относительно плоскости другого. Для определения видимости стороны QF относительно плоскости треугольника MNR, выделим на QF и MN конкурирующие точки 7 и 8 (рис. 4.5). Если смотреть на QF и MN спереди (по направлению стрелки S), то из двух точек 7 и 8, видна будет (•)8, удаление которой от плоскости П2 больше, так как Y8>Y7. Точка 8 принадлежит стороне QF, следовательно, на плоскости П2 сторона QF окажется видимой в окрестности этой пары точек, а MN – невидимой. Обозначим эту сторону на П2 видимым штрихом (рис. 4.5).

Аналогично определяется видимость сторон QF и NR в окрестности второй пары конкурирующих точек 5 и 6. Из рис. 4.5 видно, что точка 6 на плоскости П2 будет видимой (Y6>Y5), а следовательно, и сторона QF, которой принадлежит точка 5 будет невидимой. Выполненный таким образом анализ показывает, что в окрестности точек 6 и 5 сторона QF поменяла свою видимость (на рис. 4.5 этот факт зафиксирован невидимым штрихом). Это значит, что сторона QF пересекает плоскость треугольника MNR в пределах его контура, а потому первую плоскость-посредник δ следует проводить через сторону QF.

На рис. 4.5 сторона QE между парами точек 3,4 и 1,2 не меняет своей видимости, поэтому сторону QE можно исключить из списка претендентов на заключение в плоскость-посредник. Так же из рис. 4.5 следует, что сторона NR между парами точек 5,6 и 1,2 меняет свою видимость и это позволяет провести через сторону NR вторую вспомогательную плоскость-посредник τ.

Следует отметить, что плоскости-посредники можно задавать как через стороны одного треугольника, так и через стороны другого. Возможно использование двух горизонтально-проецирующих или двух фронтально-проецирующих плоскостей, либо одну плоскость-посредник брать перпендикулярно плоскости П1, а вторую – перпендикулярно плоскости П2.

Так, при решении данного примера (см. рис. 4.6) точка L линии пересечения определена с помощью посредника – фронтально-проецирующей  плоскости τ, проведённой через сторону NR треугольника MNR. Плоскость

τ пересекает плоскость треугольника QEF по прямой 1-5, а плоскость треугольника MNR по стороне NR, через которую плоскость τ проходит и, следовательно, NR строить не надо.

Покажем построение прямой (1-5). Точки 1 и 5 определятся, как точки пересечения сторон QE и QF треугольника QEF с проецирующей плоскос-тью τ. Их фронтальные проекции 12 и 52 строятся как точки пересечения τ2 с Q2E2 и Q2F2, то есть (•)12=τ2∩Q2E2, а (•)52=τ2∩Q2F2. Горизонтальные проекции 11 и 51 находим по линиям проекционной связи на горизонтальных проекциях Q1E1 и Q1F1.

Построенная прямая (1-5) и сторона NR треугольника MNR, как прямые, лежащие в плоскости посредника τ, пересекутся между собой в точке L, принадлежащей линии пересечения (L1=(11-21)∩N1R1), а L2 находится по линии связи на прямой N2R2. Аналогично, заключая сторону QF в горизонтально-проецирующую плоскость δ(δ1≡Q1F1), определяется точка L¢.

Точки L и L¢ являются точками пересечения сторон одного треугольника с плоскостью другого, то есть линия LL¢ есть линия пересечения заданных плоскостей α∩β=LL¢. Заметим, что точки L и L¢, могут быть определены и как точки пересечения прямых NR и QF, соответственно, с плоскостями треугольников QEF и MNR, для чего необходимо реализовать следующий алгоритм.

Например, для определения точки L=NR∩QEF: 1) NRÎτ (τ ^ П2, τ2≡N2R2); 2) τ∩α=(1-5); 3) NR∩(1-5)= (•)L.

Для определения относительной видимости заданных треугольников после построения линии их пересечения, достаточно установить расположение одной из сторон треугольника относительно скрещивающейся с ней стороной другого треугольника, другими словами, вопрос об относительной видимости плоскостей сводится к установлению видимости

двух скрещивающихся прямых. Видимость на каждой проекции определяется отдельно путём сопоставления положения конкурирующих точек, в которых проецирующий луч пересекает каждую из рассматриваемых скрещивающихся прямых относительно плоскостей проекций.

Так, для определения видимости на фронтальной проекции, луч зрения  (см. рис. 4.6 и 4.7) проведён перпендикулярно к плоскости П2 через две конкурирующие относительно П2 точки скрещивающихся прямых QE и NR, то есть, соответственно, через точки 1 и 2. Так как по направлению луча  сначала встретим точку 1, принадлежащую прямой QE (Y1>Y2), то на фронтальной плоскости проекций прямая QE будет видима, а прямая NR на участке от точки 22 до точки L2 – невидима.

Для определения видимости на горизонтальной проекции, луч зрения   следует провести перпендикулярно к плоскости П1 через две конкурирующие относительно П1 точки скрещивающихся прямых (например, луч, проходящий через точки 10 и 11, соответственно, принадлежащие прямым MR и QF, см. рис. 4.6). Анализ показывает, что горизонтальная проекция Q1F1 видима до точки , так как луч  на фронтальной проекции сначала встретит фронтальную проекцию 112 точки 11 (Z11>Z10), принадлежащей прямой QF, а затем фронтальную проекцию 102 точки 10, принадлежащей прямой MR. (Для большей наглядности одну из заданных плоскостей рекомендуется заштриховать).


Начертательная геометрия и инженерной графике Примеры, задачи