Эпюры внутренних усилий при кручении Влияние различных факторов на механические характеристики материалов Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции Рациональные формы поперечных сечений при изгибе

Сопромат курс лекций Примеры, задачи

Эпюры внутренних усилий при кручении

Кручением называется простой вид сопротивления, при котором к брусу (валу) прикладываются внешние пары сил в плоскостях, совпадающих с поперечным сечением вала, а в последних возникает только внутренний крутящий момент.

Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2М и распределенными по длине: m, рис.2. Наука о прочности, жесткости и надежности элементов инженерных конструкций Прочность при циклически изменяющихся напряжениях. Многие детали машин в процессе работы испытывают напряжения, циклически меняющиеся во времени.

Методика построения эпюры аналогична только что рассмотренной методике при растяжении-сжатии.

а) расчетная схема, б) первый участок, левая часть в) второй участок, левая часть г) третий участок, правая часть, д) эпюра внутренних крутящих моментов

Рис. 2. Построение эпюры внутренних крутящих моментов: Силовой расчет механизмов с учетом сил трения. Постановка задачи силового расчета: для исследуемого механизма при известных кинематических характеристиках и внешних силах, а также размерах элементов КП и величинах коэффициентов трения в них, определить уравновешивающую силу или момент (управляющее силовое воздействие) и реакции в кинематических парах механизма.

В исходных сечениях No 1,2 и 3 задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М1, М2, М3. Пусть М=ml.

Для первого участка (рис.2 б):

Для второго участка (рис.2 в):

Для третьего участка (рис.2 г):

Границы измерения параметра х3 в следующей системе координат:

Тогда:

Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис.2 д).

Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости и надежности элементов инженерных конструкций.

При малом числе циклов (N<102) развиваются значительные пластические деформации ( статическое разрушение), при большом числе циклов (N>105) пластические деформации отсутствуют (усталостное разрушение).

Мысленное разрезание бруса на две части произвольным сечением А (рис.1 a), приводит к условиям равновесия каждой из двух отсеченных частей (рис.1 б,в).

Соединение левой и правой мысленно отсеченных частей бруса приводит к известному (3) принципу равенства по модулю и противоположной направленности всех одноименных компонент внутренних усилий, а условие равновесии бруса определяется в виде:P1, P2, P3, …, N’, N”, Q’y, Q”y, Q’z, Q”z, M’x, M”x,

Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии и кручении.

Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе. Прямым изгибом называется такой вид простого сопротивления, когда внешние силы приложены перпендикулярно продольной оси бруса (балки) и расположены в одной из главных плоскостей в соответствие с конфигурацией поперечного сечения балки.

После мысленного рассечения балки нормальным сечением 1—1 рассмотрим равновесие левой отсеченной части (рис.1 б), получим:

Дифферинциальные зависимости между внутренними усилиями при изгибе.

Рассмотрим второй характерный пример изгиба двухопорной балки (рис.3).

На основе дифференциальной связи Q и М, получим: для первого участка:Q > 0 и М возрастает от нуля до .Q = const и M x.

На обеих опорах изгибающий момент отсутствует. Тем не менее опасным сечением балки будет центр пролета при .

Понятие о напряжениях и деформациях Как отмечалось выше, внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны отброшенной части тела, можно привести к главному вектору и главному моменту.

Деформации тела характеризуются изменением взаимного расположения точек тела до и после деформации.

Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений.

Свойства тензора напряжений. Главные напряжения.

Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема.

Главные напряжения обладают важным свойством: по сравнению со всеми другими площадками нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения.

Плоское напряженное состояние Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид .

Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол следующим образом:(2)

Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5) в соотношение (3) с использованием формул.

По определению относительная линейная деформация в точке М в направлении оси Ох равна .

Инварианты тензора деформаций определяются аналогичными формулами, причем первый инвариант тензора малых деформаций имеет ясный физический смысл.

Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части.

При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):

Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости.

Механические характеристики Е, , G и К находятся после обработки экспериментальных данных испытаний образцов на различные виды нагрузок.

Потенциальная энергия упрогой деформации Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1).

Подобные соотношения будут иметь место при сдвиге в других плоскостях. В общем случае напряженно-деформированного состояния будем иметь

(11) .

Закон Гука и принцип независимости действия сил

Многочисленные экспериментальные наблюдения за поведением деформируемых тел показывают, что в определенных диапазонах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в 1776 году английским ученым Р.Гуком и носит название закона Гука.

В соответствии с этим законом перемещение произвольно взятой точки А (рис. 1.8, а) нагруженного тела по некоторому направлению, например, по оси x, а может быть выражено следующим образом:

, (1.11)

где Р - сила, под действием которой происходит перемещение u; - коэффициент пропорциональности между силой и перемещением.

Очевидно, что коэффициент зависит от физико-механических свойств материала, взаимного расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических особенностей системы. Таким образом, последнее выражение следует рассматривать как закон Гука для данной системы.

В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжениями и деформациями, а не между силой и перемещением.

, (1.12)

. (1.13)

Параметры и , входящие в эти формулы, называют модулями упругости материала соответственно первого и второго рода. Они характеризуют его сопротивляемость деформированию, или жесткость в упругой стадии деформации. Численные значения и для каждого конструктивного материала определяются экспериментально. Они имеют размерности напряжений. На практике удобно использовать единицы, кратные паскалю: мегапаскаль (1 МПа=106 Па) и гигапаскаль (1 ГПа=109 Па).

Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между напряжениями и деформациями, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.

В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности. Принцип независимости действия сил является одним из основных способов при решении большинства задач механики линейных систем.


Сопромат курс лекций Примеры, задачи.