Основные характеристики цикла и предел усталости Учет массы упругой системы при колебаниях. Расчет сварных соединений Расчет балок переменного сечения.

Сопромат курс лекций Примеры, задачи

Кручение стержней

Это такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают только крутящие моменты, отличные от 0. а N = Qx = Qy = Mx = My = 0.

Стержень, работающий на кручение, называется валом.

Кручение круглых стержней

Три стороны задачи о кручении.

Рассмотрим вал, находящийся под действием крутящих моментов (рис. 8.1).

 


Рис. 8.1 Вал

1. Статическая сторона задачи:

Mкр (z) = M,

Mкр = t×r dF (2)

Mx = s×y×dF = 0

My = s ×x×dF = 0 (3)

N = s×dF = 0

Анализируя формулы (3), приходим к выводу, что нормальные напряжения в нормальных сечениях s = 0.

Найдем закон изменения касательных напряжений “t” в поперечном сечении бруса.

2. Геометрическая сторона задачи.

Она связана с применением гипотезы Бернулли (плоских сечений)

Экспериментально установлено, что при кручении круглого бруса ось стержня не меняет своей длины и формы, а поперечные сечения, плоские и нормальные к плоскости бруса до приложения крутящего момента, остаются такими же после приложения крутящего момента, и поворачиваются друг относительно друга. Физическая модель резинового бруса: поперечные сечения закручиваются друг относительно друга.

Выделим участок бруса длиной dz и имеющего радиус r (рис. 8.2).

Рис. 8.2 Участок бруса

Пусть левая часть неподвижна.

 (4)

j - абсолютный угол поворота

q - относительный угол закручивания (поворота), приходящийся на единицу длины

g - угловая деформация

3. Физическая сторона задачи

Заключается в применении закона Гука.

Закон Гука для угловых деформаций:

t = g×G (5), G – модуль сдвига (модуль упругости II–го рода)

Gстали = 8×104 МПа = 8×1010 Па

Объединяя три стороны задачи, получаем:

 


Рис. 8.3 Эпюра касательных напряжений

из (4), получаем g = r×q => (5) Mкр = t×r dF

t = r×s× G (6) => (2) Mкр = r2×q×G dF (2) = q×G r2 dF

const  Ip

Ip = r2 dF – полярный момент инерции

Ix = Iy = p×D4/64; Ip = 2×Ix = 2×Iy = p×D4/32

q = Mкр/ (G×Ip) (7)

(7)®(6) => t = (Mкр×r×G)/Ip= (Mкр×r)/Ip

t = (Mкр×ri)/Ip (8)

Анализируя формулу (8), делаем вывод, что касательные напряжения при кручении распределяются по нормальному закону (рис. 8.3).

tmax возникают при r =

Wp = Ip/(D/2) – полярный момент сопротивления

Для круглого сплошного сечения: Wp = (p×D3)/16

Тогда tmax = Mкр/Wp; Мкр/Wк [t], где Wк – момент сопротивления при кручении, равный в данный момент Wp.

tmax = Mкр/Wк£ [t] – условие прочности при кручении.

 

Геометрические характеристики Ip и Wp

характеристики

Ip

Wp

Анализируя эпюру t, мы видим, что в центре сечение не нагружено, т.о. рациональным сечением является не сплошной вал, а кольцо.

Задача

: сопоставить по металлоемкости два равноправных сечения (рис. 8.4).

 


Рис. 8.4 Полое и сплошное сечения вала

Равнопрочные:

tmax1 = tmax2

tmax1 = Мкр/Wp1

tmax2 = Мкр/Wp2

Мкр/Wp1 = Мкр/Wp1Þ 1/Wp1 = 1/Wp1

(p×D31)/16 = [(p×D32)/16]×(1–(d24/D24))Þ1/D13 = 1/(D23(1–0.84));

0.59 D23 = D13;

D1 = D×0.839.

Сопоставляем сечения 1 и 2 по металлоемкости:

F1/F2 = [(p×D12)/4]/[((p×D22)/4)–(1–d22/D22)] = 1.9.

 

Кручение прямоугольных стержней

При кручении прямоугольных стержней гипотеза плоских сечений не выполняется, так как сечения искривляются - депланируют. Задача о кручении прямоугольных стержней решается в теории упругости.

Готовые формулы

h>b

Рис. 8.5 Эпюра касательных напряжений для некруглых стержней

В углах и центре тяжести 0

где Wk = a×b2×h  - момент сопротивления при кручении

Ik = b×b3×h  - 

a, b, g -коэффициенты, зависят от соотношения

Некоторые значения коэффициентов a, b, g.

1

1,5

1,75

2

2,5

3

10

a

0,208

0,231

0,239

0,246

0,256

0,267

0,313

b

0,141

0,196

0,214

0,229

0,249

0,263

0,313

g

1

0,869

0,82

0,795

0,766

0,753

0,742

Абсолютный угол закручивания вала, состоящего из n участков - j.

  

  

Пример (К-1)

Дано (рис. 8.6)

   

Решение

первый участок

  

второй участок

  

третий участок

  

так как мы приняли за диаметр трубки диаметр D1, то пересчитаем момент сопротивления

найдем угол закручивания стержня

 


Рис. 8.6 Эпюра крутящих моментов

 


Рис. 8.7 Эпюра касательных напряжений для различных сечений стержня


Сопромат Напряжения в сферических толстостенных сосудах