Основные характеристики цикла и предел усталости Учет массы упругой системы при колебаниях. Расчет сварных соединений Расчет балок переменного сечения.

Сопромат курс лекций Примеры, задачи

Деформации

Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму(деформируются).

Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных приборов.

Рассмотрим основные виды деформации, которые учитываются при решении задач в сопротивлении материалов.

Абсолютная деформация

Пусть левый конец стержня зафиксирован, к обоим концам стержня приложена горизонтальная сила P (рис. 4.1).

Абсолютная деформация – это полное удлинение стержня, т.е. перемещение свободного конца стержня относительно положения этого конца в ненагруженном состоянии стержня.

 

Относительная деформация

 e - относительная деформация (вдоль оси х - ex,

вдоль оси y - ey)

Закон Гука для линейных деформаций

, где Е – модуль Юнга или модуль упругости I-го рода, для стали Eст = 2×105 МПа

Относительная угловая деформация

g - относительный угол деформации, равен изменению прямого угла при приложении нагрузки.

 


Рис. 4.2 Относительная угловая деформация

Закон Гука для угловых деформаций

 

где G – модуль сдвига или модуль упругости II-го рода

Упругие постоянные материала связаны зависимостью:

 где m - коэффициент Пуассона.

Он равен отношению поперечной деформации  бруса к продольной деформации , взятого по модулю.

 

mстали = 0,25 –0,35

 

 

Основные гипотезы, допущения, принципы, принимаемые в курсе сопротивления материалов

Методы расчета на прочность и жесткость конструкции в сопротивлении материалов основаны на применении следующих гипотез и допущений.

Материал конструкции считается сплошным и однородным. Атомистическая теория строения вещества в расчет не принимается.

Исключение: допущение неприемлемо при рассмотрении усталостной природы разрушения металлов.

Материал конструкции считается анизотропным, то есть обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях.

Исключение: дерево, прокатный материал.

Материал конструкции подчиняется закону Гука

 - для линейных деформаций; 

 - при деформациях сдвига.

Материал тела считается абсолютно упругим.

Поперечные и нормальные к оси сечения бруса до приложения нагрузки остаются плоскими и нормальными после приложения нагрузки (Гипотеза Бернулли или гипотеза плоских сечений).

P

 

D = D1 +D2 +D3

 

q

 
Принцип суперпозиции. Результат действия на конструкцию суммы нагрузок равен сумме результатов действия каждой нагрузки отдельно (рис. 5.1).

M

 
 


Рис. 5.1 Принцип суперпозиции

Q

 

º

 

q

 
Принцип Сен-Венана. На расстоянии равном размеру поперечного сечения бруса способ приложения нагрузки не оказывает влияния на напряженно деформированное состояние бруса (рис. 5.2).

 


Рис. 5.2 Принцип Сен-Венана

Деформации конструкции малы и не влияют на взаимное положение точек приложения внешних сил и изменение размеров конструкции.

 

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии

Растяжение – такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают только нормальные силы N, а все остальные внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.

Приложение нормальных сил к стержню может быть различным, но в любом случае система внешних сил образует равнодействующую Р, направленную вдоль оси стержня, то есть во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе Р: N=P.

При расчетах в сопротивлении материалов сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы N.

Таким образом, при рассмотрении задач сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия.

Если для нагруженного по концам растянутого однородного стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, то такое напряженное состояние называется однородным.

Рассмотрим задачу о распределении напряжений  и  при растяжении (сжатии) в поперечном сечении стержня (рис. 6.1).

Три стороны задачи о растяжении и сжатии стержня.

1. Статистическая сторона задачи

 

 

Геометрическая сторона задачи

Применим гипотезу плоских сечений:

Волокна при растяжении (сжатии) по высоте в поперечном сечении бруса деформируются одинаково (3).

Выделим два сечения стержня до приложения нагрузки и рассмотрим их положение в нагруженном состоянии

 

3. Физическая сторона задачи

Заключается в применении закона Гука.

 (4) где e - относительная деформация,

Е – модуль упругости 1 рода = 2×105 МПа

Объединяем все три стороны задачи

 (5)

подставляем в интеграл (2)

 => 

 (6) s - нормальное напряжение

Найдем растяжение стержня при удлинении, сжатии.

 


Рис. 6.3 Нормальное напряжение при растяжении

 E×F – жесткость бруса при растяжении, сжатии.

Абсолютная деформация бруса длинной l=e×dz равна

 где Dl – абсолютная деформация.

Условия прочности:

  - допускаемое нормальное напряжение.

Материалы

Пластичные материалы

Хрупкие материалы

 - предел текучести материала

  - предел прочности материала

n – коэффициент запаса прочности

n – вводится по следующим причинам:

неточное определение внешних нагрузок

приближенные методы расчета

отклонения в размерах деталей

разброс в механических характеристиках материала.

Для хрупких материалов n больше чем для пластичных материалов, так как у хрупких материалов большая неоднородность структуры.

если N(z) = const, F(z) = const

Условие жесткости Dl £ [Dl]

 

Типы задач сопротивления материалов

Мы выполняем расчет по допускаемым напряжениям, при этом вся конструкция считается прочной, если напряжение в опасной точке smax не превосходит [s] – допускаемого значения (рис. 7.1).

s

 
 


Рис. 7.1 Эпюра напряжений s

1. Проверочный расчет

Дано:

Размеры стержня, внешняя нагрузка.

 ?

2.Проектировочный расчет

Дано:

Внешняя нагрузка, [s]

 smax = [s]  условие экономичности

 

3.Определение допустимой внешней нагрузки

Дано:

размеры стержня, [s]

smax =  = [s]

 

  

 

4. Расчет на жесткость.

Условия жесткости: Dl =  

Пример (Р-1)

все величины заданы в системе СИ

 
 
 
 


Рис. 39 Пример решения задания Р-1

Рис. 7.2 Пример решения задачи Р-1

Решение

Найдем реакции связей

Построим эпюру нормальных сил

 

Построим эпюру нормальных напряжений

Построим эпюру перемещений


Сопромат Напряжения в сферических толстостенных сосудах