Основные характеристики цикла и предел усталости Учет массы упругой системы при колебаниях. Расчет сварных соединений Расчет балок переменного сечения.

Сопромат курс лекций Примеры, задачи

Дифференциальные зависимости при изгибе

Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распределенной нагрузкой q=f(z), принятое направление q считать положительным (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Стержень с распределенной нагрузкой

Выделим из стержня элемент длиной dz и в проведенных сечениях приложим моменты M и M+dM, а также поперечные силы Q и Q+dQ (рис. 2.2). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать равномерно распределенной.

Рис. 2.2 Элемент длиной dz стержня

Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов относительно поперечной оси:

После упрощения получим

  

Из полученных соотношений можно сделать некоторые общие выводы о характере эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня.

 

2.1 Правила проверки эпюр

Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то есть q = 0,   => Q=const=C1;  => M=C1×z+D1,то эпюра поперечных сил постоянна, а эпюра изгибающих моментов М изменяется по линейному закону (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Если в сечении приложена сосредоточенная сила, то на эпюре Q скачек на величину этой силы, от начала предыдущего, до начала следующего. А на эпюре М излом, направленный навстречу этой силе.

Если первая производная положительная, то момент возрастает слева направо, если отрицательная, то наоборот: +Q => M -Q => M¯.

Если в сечении приложен сосредоточенный момент Мi, то на эпюре Q нет никаких изменений, а на эпюре М скачек на величину этого момента (рис. 2.4).

Рис. 2.4 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Если на участке приложена равномерно распределенная нагрузка q = const, то Q – наклонная прямая, а М – парабола, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке (рис. 2.5).

Рис. 2.5 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Если на участке эпюра Q меняет знак и пересекает ось, то эпюра М имеет экстремум в точке пересечения Q с осью.

Если ветви эпюры Q сопрягаются без скачка на границах участка, то ветви эпюры М на границе этих же участков сопрягаются без изломов (рис. 2.6).

Рис. 2.6 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Если на участке стержня Q равна нулю, то  (рис. 2.7)

Рис. 2.7 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

 

3. Напряжения и деформации

DF – площадь элементарной площаки

D`N, D`T – равнодействующие сил, приложенных к площадке dF

D`T - действует по касательной в плоскости поперечного сечения.

D`N || Оz

 
Введем оси координат Ox, Oy, Oz. Выделим элементарную площадку DF в плоскости поперечного сечения бруса (рис. 3.1). На нее действует произвольная сила, которая может быть разложена на составляющие DN (DNûëxOy) и DT (DTÎxOy).

 
 


Рис. 3.1 Поперечное сечение бруса

Введем понятие касательного и нормального напряжений:

 нормальное напряжение

Нормальное напряжение – это предел отношения нормальной составляющей внутренних усилий DN, действующих на элементарную площадку DF при стремлении последней к нулю.

 касательное напряжение

Касательное напряжение – это предел отношения тангенциальной составляющей внутренних усилий DT, действующих на элементарную площадку DF при стремлении последней к нулю.

Общий вид формул:

 

Закон парности касательных напряжений

«Вырежем» элементарную площадку dF бруса размером dx на dy (рис. 3.2).

Рис. 3.2 Площадка dF

На двух взаимно перпендикулярных площадках, имеющих общее ребро, касательные напряжения  равны по величине и направлены или оба к ребру или оба от ребра.

 

3.1 Интегральные зависимости между s и t и внутренними силовыми факторами

Рис. 3.3Связь между напряжениями и внутренними усилиями


Сопромат Напряжения в сферических толстостенных сосудах