Основные характеристики цикла и предел усталости Учет массы упругой системы при колебаниях. Расчет сварных соединений Расчет балок переменного сечения.

Сопромат курс лекций Примеры, задачи

Контрольная работа № 2

Данная задача требует от студентов знаний по решению статически неопределимых систем, связанных с растяжением и сжатием отдельных элементов конструкций.

Абсолютно жесткий брус В-Т, имеющий одну шарнирно-неподвижную опору в точке D и закрепленный в точках С и Т тягами из упруго-пластичного материала, загружен сосредоточенной силой – F, которая может изменять свою величину в процессе воздействия на брус. Площадь поперечного сечения тяг А1 и А2. Тяги стальные: Е=. Коэффициент запаса по пределу текучести kТ=1,5.

Требуется:

1. Сделать чертеж всей конструкции по заданным размерам, соблюдая масштаб.

2. Найти в зависимости от силы F значения усилий в тягах, реакции опоры D и угол поворота бруса вокруг опоры.

3. Определить в процессе увеличения силы F её значение, при котором напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести.

4. Определить в процессе дальнейшего увеличения силы F ее предельное значение в предположении, что несущая способность тяг исчерпана.

5. Найти значения грузоподъемности из расчета по методам допустимых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопоставить результаты и сделать вывод.

Дано: A1= 3 см2; A2= 5 см2; а = 2,0 м; в = 1 м; с = 3 м; l1 = 1,5; l2 =2 м;

Решение

1. Выполняем чертеж всей конструкции по заданным размерам, соблюдая масштаб.

2. Определяем в зависимости от силы F значения усилий в тягах.

Сделаем сечение по всем тягам и приложив в местах сечений усилия N1 и N2, возникающие в тягах, рассмотрим равновесие оставшейся части, нагруженной продольными усилиями в тягах N1, N2, реакциями опоры D (RD и НD)и силой F.

Составим уравнения равновесия статики для оставшейся части, получим:

SZ = 0; HD = 0 (1.8)

SY = 0; F − N1 − RD + N2 =0 (1.9)

SMА=0; −F∙(a + b) + N1∙b + N2∙c =0 (1.10)

Из уравнений равновесия видно, что система один раз статически неопределима, т.к. три уравнения равновесия содержат четыре неизвестных усилия. Поэтому для решения задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение совместности деформаций, раскрывающее статическую неопределимость системы.

Для составления дополнительных уравнений рассмотрим деформированное состояние системы, имея в виду, что брус абсолютно жесткий и поэтому после деформации тяг останется прямолинейным.

Эти дополнительные уравнения совместности деформаций получим из подобия треугольников ΔСС`D и ΔDТТ`

 =  (1.11) 

Абсолютное удлинение тяг можно выразить известной зависимостью по закону Гука:

 

Подставляя выражения (1.12) в (1.11), получим

После вычислений и сокращения одноименных величин получим четвертое недостающее уравнение для раскрытия статической неопределимости

   (1.13) 

 

Теперь, используя уравнение равновесия (1.10), выразим в долях от силы F значения усилий N1 и N2:

 

откуда , тогда

Из уравнения равновесия (1.9) определим в долях от силы F реакцию опоры RD:

В качестве проверки правильности определения усилий и опорной реакции составим дополнительное уравнение равновесия: сумму моментов всех сил относительно точки Т.

Следовательно, усилия в тягах и реакция опоры найдены верно.

Угловое смещение находим как тангенс угла наклона оси бруса, но в виду его малости за функцию tg примем значение самого угла .

3. Определение величины F, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести

Для вычисления величины силы F, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести sТ, определим нормальные напряжения, возникающие в тягах, учитывая то, что тяги работают на растяжение получим:

Полученные величины напряжений показывают, что в тяге 2 напряжение достигнет предела текучести раньше, чем в тяге 1 и s2.> s1 . Поэтому, приравняв напряжение s2 пределу текучести sТ определим величину F, при которой нормальное напряжение в тяге 2 достигнет предела текучести sт :

 ,

откуда .

4. Определение предельного значения силы F, соответствующей реакции опоры RDпр и угла поворота

При исчерпании несущей способности всех тяг напряжения в них достигнут предела текучести sт. В этом случае предельные усилия, которые возникнут в тягах, будут равны:

Предельную величину внешней нагрузки, соответствующую исчерпанию несущей способности, найдем из уравнения (1.10)

  

Предельную величину реакции  определяем из уравнения (1.9)

 

При определении наименьшего угла поворота бруса, соответствующего предельному состоянию системы, необходимо знать, в какой из тяг текучесть наступит позже. Согласно напряжениям найденным в разделе 2, данной задачи это произойдет во второй тяге.

tg jпр » jпр =

5. Определение грузоподъемности из расчёта по методам допускаемых напряжений разрушающих нагрузок

По методу допускаемых напряжений условие прочности имеет вид

 МПа.

Отсюда кН.

 Тот же результат мы получим, поделив силу кН, полученную в п.2 на коэффициент запаса.

 По методу разрушающих нагрузок

кН.

 Сравнивая величины грузоподъемности, видим, что грузоподъемность по методу разрушающих нагрузок выше грузоподъемности по методу допускаемых напряжений.


Сопромат Напряжения в сферических толстостенных сосудах