Способ сравнения деформаций. Положение жесткого бруса в пространстве Напряжения в сферических толстостенных сосудах. Прочность при циклически изменяющихся напряжениях

Сопромат курс лекций Примеры, задачи

Способ сравнения деформаций.

Выполняя решение уравнения , названного уравнением совместности деформаций, можно рассуждать следующим образом.

Прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В складывается из двух прогибов: одного , вызванного лишь нагрузкой q, и другого , вызванного реакцией В. Таким образом,

(1)

Остается вычислить эти прогибы. Для этого загрузим основную систему одной нагрузкой q (рис.4, а). Неразьемные соединения, зубчатые передачи Изобpажения и обозначения сваpных швов Cоединения деталей путем сваpки шиpоко pаспpостpанены в совpеменном машиностpоении. Сваpка позволяет создавать пpинципиально новые констpукции машин и сооpужений, основанные на использовании катаных, литых, кованых и штампованных заготовок. Это оказывает влияние не только на отдельные детали объектов, но и на фоpму всей констpукции

Зубчатые и чеpвячные механизмы служат для pавномеpной пеpедачи вpащения между двумя валами, оси котоpых паpаллельны, пеpесекаются или скpещиваются. Пеpедача вpащения от одного вала к дpугому осуществляется посpедством зацепления зубьев двух сопpяженных зубчатых колес или чеpвячной паpы.



Рис.4. Расчет прогиба от исходной нагрузки — а) и реакции — б)

Тогда прогиб точки В будет равен:

При нагружении основной системы реакцией В (Рис.4,б) имеем:

Подставляя эти значения прогибов в уравнение (1), получаем:

Отсюда

В этом способе мы сначала даем возможность основной системе деформироваться под действием внешней нагрузки q, а затем подбираем такую силу В, которая бы вернула точку В обратно. Таким образом, мы подбираем величину неизвестной дополнительной реакции В с тем расчетом, чтобы уравнять прогибы от нагрузки q и силы В. Этот способ и называют способом сравнения деформаций.



Рис.5. Эпюры поперечных сил и внутренних изгибающих моментов.

Подставляя значение лишней реакции В в уравнения статики, получаем

Выражение изгибающего момента получаем, рассматривая правую часть балки (Рис.4) и подставляя значение В:

Поперечная сила Q выражается формулой

Эпюры моментов и поперечных сил изображены на рис.5. Сечение с наибольшим положительным моментом соответствует абсциссе , определяемой равенством

т.е.

Отсюда соответствующая ордината эпюры моментов, равна:

Предположим, что мы сначала нагрузили нашу балку грузом ; балка очень немного прогнется (Рис.2, положение III), и прогибы ее в точках 1, 2, 3 будут .

Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно, что его можно повторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.

Теоремы о взаимности работ и Максвелла — Мора. Пользуясь понятием о потенциальной энергии, можно установить следующую зависимость между деформациями в различных сечениях балки.

Теорема Максвелла—Мора. Прогиб балки в точке приложения сосредоточенной силы Р равен: .

Аналогично, производная изгибающего момента М (х) по паре сил численно представляет собой изгибающий момент от пары с моментом, равным единице, приложенной в том же сечении, где имеется пара , и направленной в ту же сторону.

Наш соотечественник А. Н. Верещагин в 1924 г. предложил упрощение вычислений.

Расчет статически неопределимых балок. Способ сравнения деформаций.

Действительно, добавочная реакция и соответствующее ей добавочное опорное закрепление являются «лишними» только с точки зрения необходимости этих закреплений для равновесия балки как жесткого целого.

Комбинируя различные типы закреплений, можно получить ряд схем балок:

1. Балка шарнирно опертая по концам (рис.6.6,а). Одна опора шарнирно подвижная, другая – шарнирно неподвижная. Расстояние между центрами опор на схеме называется пролетом. Число реакций равно трем. Учитывая, что для плоской системы сил можно составить три независимых уравнения равновесия системы в целом, приходим к заключению, что балка статически определимая.

2. Балка шарнирно опертая с консолями (С1 и С2) (рис.6.6,б). Реакции те же. Балка статически определимая.

3. Балка жестко закрепленная одним концом (консольная балка) (рис.6.6,в). В заделке три реакции. Балка статически определимая. При действии нагрузки перпендикулярной оси реакция НВ всегда равна 0.

Рис.6.6

После определения опорных реакций внутренние усилия в статически определимых конструкциях определяем с помощью метода сечений.


Способ сравнения деформаций Сопромат