Матрицы, Комплексные числа

 

Определение, обозначения и типы матриц

Сложение матриц и умножение на число

Символ суммирования

Замечание   Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина.

Умножение матриц

Пример Даны матрицы $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&0\\ -1&2&-2\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rr}
3&-2\\ 1&0\\ 4&-3\end{array}\right)$ . Найдите произведения $ AB$ и $ BA$ .

Замечание Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).

Докажем дистрибутивность умножения

Транспонирование матрицы

Определители

Предложение   При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть $ {\vert A^\top\vert=\vert A\vert}$ .     

Предложение Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Пример

Алгоритм создания нулей в столбце

Обратная матрица

 Пример   Найдите обратную матрицу для матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .

Ранг матрицы

Пример   Матрица $ A$ примера 14.9 имеет ранг 3, так как есть минор третьего порядка, отличный от нуля, а миноров четвертого порядка нет.

Алгоритм нахождения ранга матрицы

Теорема   Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда один из ее столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).    

Комплексные числа

Построение поля комплексных чисел

Примеры

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль и аргумент

Тригонометрическая форма комплексного числа

Примеры

Показательная форма комплексного числа

Примеры

Извлечение корня из комплексного числа

Найдите корни уравнения $ {z^4=-1}$ .

Корни многочленов

Математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач