Интегральное исчисление функций многих переменных

 

     Некоторые геометрические и механические приложения двойных интегралов

Как уже говорилось выше, двойных интегралы можно применять к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти площадь области , ограниченной линиями  .

 Область представляет собой параболический сегмент, ограниченный слева дугой параболы , справа – отрезком прямой  Решая совместно уравнения параболы и прямой, находим ординаты точек их пересечения: y = -2, y = +1.

Следовательно,

 Примечание. Если бы мы выбирали обратный порядок интегрирования, область   предварительно пришлось бы разбить на две части, так как эта область сверху ограничена линией, заданной двумя различными уравнениями (дуга параболы и отрезок прямой).

  Пример 2. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями y = x2, y = 1, z = 0,

z = x2 + y2.

 Так как данное тело представляет собой цилиндрическое тело с основанием , ограниченное сверху параболоидом z = x2 + y2, то имеем:

 Пример 3. Найти объем тела V, вырезаемого из бесконечной призмы с гранями  параболоидами  

 Объем тела V находим как сумму объемов V1 и V2 его частей, лежащих соответственно над и под плоскостью XOY. При этом

 Понятие двойного интеграла можно использовать для определения площадей не только фигур, но и кривых поверхностей.

 Будем называть поверхность S, в каждой точке которой определена касательная плоскость и, следовательно, нормаль, гладкой, если положение касательной плоскости непрерывно меняется с непрерывным перемещением по поверхности точки касания. Последнее означает, что для любой точки М0 поверхности и для любого числа  существует такая - окрестность точки М0, что для всех точек М поверхности, лежащих в этой окрестности, углы между нормалями в точках М и М0 меньше, чем .

 Пусть, например, поверхность S задана уравнением   где  - функция, имеющая непрерывные частные производные  и  в замкнутой квадратируемой области  - проекции поверхности S на плоскость XOY. При таких предположениях поверхность S имеет непрерывно меняющуюся касательную плоскость и нормаль, т.е. является гладкой. Для определения площади поверхности поступим следующим образом. Разобьем область  на n областей и обозначим через   часть поверхности S, проектирующуюся на плоскость XOY в область . При этом поверхность S разобьется на n частей:  В каждой области  возьмем произвольно точку  восстановив в этой точке перпендикуляр к плоскости XOY до пересечения с поверхностью S, получим на поверхности  точку . Проведем в точке Mi касательную плоскость к поверхности и рассмотрим ту ее часть , которая на плоскость XOY проектируется в область . В силу гладкости поверхности вблизи точки Mi касательная плоскость мало отклоняется от поверхности , поэтому естественно считать площадь части  поверхности приближенно равной площади части  касательной плоскости.

Проводя указанные рассуждения для всех областей деления и суммируя результаты, получим приближенное значение площади поверхности S в виде:

(Здесь  обозначает площадь плоской площадки ).

За точное значение площади поверхности S по определению принимается число, равное пределу, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю шага разбиения  области :

Покажем, что в наших предположениях этот предел существует. Обозначим через   острый угол, составляемый с осью OZ нормалью к поверхности S, или, что тоже, нормально к плоскости , в точке Мi. Так как область  есть проекция , на плоскость XOY, их площади связаны соотношением

Косинус угла находим, используя уравнение нормали к поверхности   в точке :

Следовательно,

а значит,

Под знаком предела стоит интегральная сумма по области  для функции  Так как по условию эта функция непрерывна в замкнутой области , то указанный предел существует и равен двойному интегралу

Таким образом, мы получили формулу для вычисления площади поверхности S:

Примечание. Если поверхность S задана уравнением вида   или  то за плоскость проекции берется плоскость ZOX или соответственно YOZ. Соответствующим образом видоизменяются определение площади поверхности и формула (1).

В более сложных случаях при определении площади поверхности предварительно разбивают ее на части рассмотренного выше вида и площадь поверхности S полагают равной сумме площадей ее частей. Поверхность S, имеющую определенную указанным выше образом площадь, называют квадрируемой.

Формула Грина – Остроградского

Формула Грина – Остроградского устанавливает связь между двойными и криволинейными интегралами (второго рода).

 причем

 

 

Математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач