Интегральное исчисление функций многих переменных

 

     Условия независимости криволинейного интеграла (второго рода) от формы пути интегрирования

Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны в некоторой области D пространства XYZ. Будем рассматривать в этой области только кусочно-гладкие кривые.

Возьмем в области D две произвольные точки А и В. Их можно соединять различными кривыми, лежащими в области D. По каждой из этих кривых интеграл  имеет, вообще говоря, свое значение.

Вычислим, например, интеграл  по отрезку прямой АВ, соединяющему точки А(1, 0, 0) и В(1, 1, 1)

Уравнения прямой АВ:  т.е. x = 1, y = z.

Выбирая за параметр y, имеем:

Вычислим теперь тот же интеграл по дуге параболы АВ, заданной уравнениями

x = 1, z = y2. Выбирая за параметр y (x = 1, y = y, z = y2, yA = 0, yB = 1), получим:

Этот пример показывает, что значения интеграла  зависят от формы кривой, по которой производится интегрирование.

Можно, однако, привести примеры криволинейных интегралов, значения которых по любым кривых, соединяющим данные точки А и В, будут одни и те же. Такими, как можно показать, являются интегралы:

  и др.

Будем говорить, что интеграл  в области D не зависит от формы пути интегрирования, если его значения по всевозможным кусочно-гладким кривым, лежащим в данной области и имеющим общее начало и общий конец, одинаковы. В этом случае при записи интеграла достаточно указывать лишь начальную и конечную точки пути интегрирования, в связи с чем приняты обозначения:

 или

Независимость криволинейного интеграла  в области D от формы пути интегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла, вдоль всякой замкнутой кривой L, лежащей в области D.

Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл , где P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – функции, непрерывные в области D, в этой области не зависел от формы пути, необходимо и достаточно, чтобы выражение   было полным дифференциалом некоторой функции (в области D).

Теорема. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) в области D  имеют непрерывные частные производные первого порядка, то, для того чтобы выражение  в этой области было полным дифференциалом некоторой функции, необходимым и достаточным является выполнение условий:

  

в каждой точке области D.

 

 

Математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач