Поверхностные интегралы второго рода (по координатам)

 

Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода

 

Формула поверхностного интеграла общего вида:

,

где , ,  - направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную (для интеграла слева) сторону поверхности.

 

    Формула Гаусса — Остроградского

 

Формула Гаусса — Остроградского устанавливает связь между поверх­ностным интегралом (второго рода) по замкнутой поверхности и тройным ин­тегралом по пространственной обла­сти, ограниченной этой поверхностью.

Формулу Гаусса — Остроградского можно использовать для вычисления поверхностных интегралов по замк­нутым поверхностям.

 

          Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между криволинейным и по­верхностным интегралами (второго рода).

Устанавливается следующее соотношение между криволинейным и поверхностным интегралами:

 (1)

Формула (1) имеет место для любой незамкнутой, ограниченной контуром L поверх­ности S, состоящей из конечного числа поверхностей рассмотренного вида, а также для поверхностей, обладающих указанными свойствами, относительно других координатных плоскостей. Эта формула называется формулой Стокса. Она выражает криволинейный интеграл по контуру L через интеграл по поверхности S, «натянутой» на этот контур. Сторона поверхности и направление обхода контура L взаимно определяют друг друга.

Частным случаем формулы Стокса (L - кривая в плоскости XOY, S — область плоскости XOY, ограниченная этой кривой) яв­ляется формула Грина — Остроградского:

.

Формулу Стокса можно использовать для вычисления криволинейных интегралов по замк­нутым кусочно-гладким контурам.

 

 

Математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач