Интегральное исчисление функций многих переменных

 

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА

  Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги)

Рассмотрим задачу о нахождении массы материальной кривой. Эта задача естественным образом приведет нас к одному из обобщений понятия определенного интеграла – криволинейному интегралу по длине дуги.

Пусть вдоль некоторой кривой непрерывным образом распределена масса. Средней плотностью какого-либо участка такой кривой называют отношение его массы к длине, а плотностью распределения массы кривой в данной точке называют предел средней плотности участка кривой, содержащего эту точку, при стягивании последнего к данной точке.

Поставим своей целью определить массу материальной точки привой АВ, если известна плотность распределения массы  в каждой ее точке М: .

Эту задачу можно решить следующим образом. Разобьем дугу АВ точками М1, М2,…,Мn-1,  на n дуг. Обозначим, кроме того, для удобства дальнейших записей, точку А через М0, а точку В через Мn.

На каждой дуге Мi-1Мi  выберем произвольную точку Ni и вычислим в этой точке плотность распределения массы кривой.

Предполагая, что плотность во всех точках дуги Мi-1Мi   постоянна и равна ее значению в точке Ni найдем приближенное значение массы m дуги Мi-1Мi   .

где   - длина дуги Мi-1Мi  

Так как масса m всей дуги АВ равна сумме масс ее частей, то:

Полученная формула будет приближенной, так как плотность распределения массы на каждой дуге Мi-1Мi  в действительности, вообще говоря, не постоянна. Естественно ожидать, что чем меньше будут длины дуг деления, тем точнее будет это приближенное равенство. За массу кривой АВ принимают предел полученного приближенного значения при стремлении к нулю всех длин дуг деления:

К изучению пределов сумм указанного вида сводится большое количество задач механики и математики, в связи с чем представляется целесообразным исследовать эти суммы, отвлекаясь от их конкретного содержания.

Рассмотрим в пространстве XYZ непрерывную спрямляемую кривую АВ, в точках которой определена произвольная функция f(x y z).

Разобьем кривую АВ точками М1,…, Мn-1, занумерованными для определенности в направлении от А к В на n частей (рис.2.1.1.). Точку А обозначим через М0, точку В через Мn. На каждой дуге Мi-1Мi  , выберем произвольную точку Ni  и умножим значение функции f(x, y, z) в этой точке Ni на длину  дуги Мi-1Мi   .

Сложив все такие произведения, мы получим сумму:

Ее называют интегральной суммой для функции  заданной на дуге АВ. Интегральная сумма зависит от способа разбиения дуги АВ на части и от выбора точек Ni на этих частях.

Рис. 2.1.1

Назовем шагом разбиения кривой АВ на части наибольшую из длин дуг деления и обозначим ее через  Рассмотрим процесс, при котором число n дуг деления кривой АВ будет неограниченно возрастать, а длины этих дуг будут стремиться к нулю. Этот процесс можно характеризовать словами: «шаг разбиения  кривой АВ стремится к нулю».

Если при стремлении к нулю шага разбиения  существует предел интегральных сумм, то этот предел называют криволинейным интегралом от функции  по длине дуги АВ и обозначают символом:

Криволинейный интеграл по длине дуги часто называют криволинейным интегралом первого рода в отличие от криволинейных интегралов второго рода (по координатам).

Ниже будет показано, что если функция  непрерывна на спрямляемой непрерывной кривой АВ, то указанный предел существует, т.е. существует интеграл

.

Сформулируем некоторые свойства криволинейного интеграла по длине дуги, непосредственно вытекающие из определения этого интеграла. При этом каждый из упомянутых ниже интегралов будем предполагать существующим.

1. Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.

2. Постоянный множитель модно выносить за знак криволинейного интеграла.

3. Криволинейный интеграл от суммы двух функций равен сумме двух интегралов от этих функций.

4. Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то

5. Если в точках кривой АВ

то

6.

7. Если  то

где S – длина кривой АВ.

8. Теорема о среднем. Если функция  непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка  такая, что:

где S – дина кривой АВ.

Возвращаясь к рассмотренной выше механической задаче, заключаем, что масса m материальной кривой АВ вычисляется по формуле

где - плотность распределения массы.

Выясним теперь, как связан криволинейный интеграл по длине дуги с обыкновенным определенным интегралом.

Пусть АВ – непрерывная спрямляемая кривая, а  - функция непрерывная на этой кривой.

Установим на кривой АВ определенное направление, например от А к В. Тогда положение любой точки  кривой АВ можно характеризовать длиной s дуги АМ:

  

В частности, точке А соответствует s = 0, а точке В соответствует s = S, где S – длина кривой АВ. При этом на уравнения    где s меняется в пределах от s = 0 до s = S, можно смотреть как на параметрические уравнения кривой АВ.

Функция  становится сложной непрерывной функцией параметра s Обозначая через si  и   значения параметра s, соответствующие точкам Mi и Ni  получим:

где   - длина дуги 

В правой части равенства стоит интегральная сумма для обыкновенного определенного интеграла от непрерывной функции  на отрезке  Переходя к пределу при стремлении к нулю шага разбиения  кривой АВ, получаем:

 (1)

Заметим, что эти рассуждения не только дают выражение (1) криволинейного интеграла по длине через обыкновенный интеграл, но и доказывают существование криволинейного интеграла о функции , непрерывной на рассматриваемой кривой АВ.

Пусть теперь кривая АВ задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t),   где x(t), y(t), z(t) – непрерывно дифференцируемые функции любого параметра t (не обязательно длины дуги s), причем точке А соответствует , а точке В  Установим на кривой АВ направление от А к В. Тогда длина дуги АМ [ - текущая точка кривой АВ] будет функцией параметра t:

 (2)

Производя замену переменной в правой части формулы (1), будем иметь:

Если точке А соответствует большее значение параметра  чем точке В  то, устанавливая на кривой АВ направление от В к А и производя аналогичные выкладки, снова приходим к формуле (2), так как интеграл по длине дуги от направления кривой не зависит.

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо, используя параметрические уравнения кривой, выразить подинтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги как функции параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t в пределах от меньшего до большего значения параметра t для данной кривой.

Если АВ – плоская кривая, заданная уравнением   где  - непрерывно дифференцируемая функция, то, принимая x за параметр, как частный случай формулы (2) будем иметь формулу

Криволинейный интеграл по длине дуги имеет разнообразные приложения в механике и математике. С помощью этого интеграла можно вычислить массу материальной кривой, ее статические моменты относительно координатных осей и плоскостей, моменты инерции относительно координатных осей, найти координаты центра тяжести такой кривой, решить задачу относительно притяжении материальной точки материальной кривой и т.д.

 

 

Математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач