Тройные интегралы

 

Переход в тройном интеграле от декартовых к сферическим координатам.

Сферическими координатами точки  пространства XYZ называются числа  где  - длина радиуса-вектора  точки М,  - угол, составляемый с осью OX проекцией этого радиуса-вектора на плоскость XOY, а   - угол отклонения радиуса-вектора точки М от плоскости XOY (рис. 4.16.6.). Задание этих трех чисел однозначно определяет положение точки М в пространстве XYZ.

Рис. 4.16.5 Рис.4.15.6

Сферические координаты  точки М связаны с ее декартовыми координатами x, y, z формулами:

  . (4)

По определению . Значения углов  и  будем брать в пределах:  Формулы (4), где переменные  изменяются в указанных пределах, можно рассматривать как задание отображения полосы

Рис. 4.16.7

пространства с прямоугольными координатами  (рис. 4.16.7.) пространство XYZ.

При этом отображении плоскости  пространства  соответствует сфера  в пространстве XYZ, плоскости  - полуплоскость, проходящая через ось OZ под углом  к оси OX, а плоскости  - круговой конус с вершиной О, образующие которого наклонены к плоскости XOY под углом  (рис. 4.16.8.). Это отображение взаимно однозначно всюду, кроме границы указанной выше полосы. Якобиан отображения:

 В данной полосе якобиан отображения (4) неотрицателен и обращается в нуль лишь на границе полосы.

Рис. 4.16.8

 

  Применяя формулу замены переменных в тройном интеграле к отображению (4), получим:

 (5)

где Т – область пространства  образом которой является область V. Эта формула называется формулой перехода в тройном интеграле от декартовых к сферическим координатам.

При вычислении тройного интеграла в сферических координатах можно пользоваться чертежом области V в пространстве XYZ и геометрическим смыслом сферических координат.

 

Рис. 4.16.9

 

Математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач