Тройные интегралы

 

   Вычисление тройных интегралов

Вычисление тройных интегралов производится путем последовательного вычисления интегралов меньшей кратности.

Теорема 1. Пусть область V ограничена снизу и сверху поверхностями   и , где  и  - непрерывные функции в замкнутой области  плоскости XOY, и цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси Oz, а направляющей является граница области . Тогда для любой функции , непрерывной в замкнутой области V, имеет место формула

 (1)

позволяющая свести вычисление тройного интеграл к вычислению двойного интеграла от определенного интеграла (короче, к вычислению повторного интеграла).

Интеграл, стоящий в правой части равенства, обычно записывают в виде:

При вычислении тройного интеграла по формуле (1) с помощью повторного интеграла сначала вычисляют внутренний интеграл по переменной z при постоянных x и y (x и y – параметры) в пределах изменения z (для области V) при постоянных x и y, а затем полученная функция x и y интегрируется по переменным x и y по области .

Рис. 4.13.1

Если при этом область  плоскости XOY ограничена линиями x = a, y = b (a < b),  [ и  непрерывные на отрезке [а, b] функции, причем (рис. 4.13.1.)], то, перейдя от двойного интеграла по области  к повторному, получаем формулу

 (2)

позволяющую вычисление тройного интеграла заменить последовательным вычислением трех определенных интегралов.

  В частности, если область V – параллелепипед с гранями x = a, x = b (a < b), y = c, y = d (c < d) , z = l, z = k (l < k), то по формуле (2) имеем:

 Для функции , равной произведению функций, каждая из которых зависит от одного лишь переменного:

тройной интеграл по этому параллелепипеду V равен произведению трех определенных интегралов:

 

Рис. 4.13.2 Рис. 4.13.3

Это равенство непосредственно следует из свойств тройных и двойных интегралов.

Пример 1. Вычислить интеграл  по параллелепипеду, ограниченному плоскостями x = -1, x = +1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 2.

По формуле (2) имеем:

Рис. 4.13.4

Пример 2. Вычислить интеграл  по области V, ограниченной плоскостями  (рис.4.13.3.).

Область V проектируется на плоскость XOY в треугольник , ограниченный прямыми   Применяя формулы 1 и 2, получаем:

 

Рис. 4.13.5

 

Наряду с указанными выше формулами при соответствующих условиях имеют место формулы, получающиеся из них перестановкой переменных x, y и z.

В случае, если область V может быть разбита на части, удовлетворяющие условиям теоремы 1 или теорем, получающихся из нее перестановкой переменных x, y и z, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению соответствующих интегралов по каждой из этих частей.

Пример 3. Составить формулу для вычисления тройного интеграла

по области V, лежащей в первом октанте и ограниченной поверхностями x = 0, y = 0, z = 0, ,  (рис.4.13.4.). Так как поверхность, ограничивающая область V снизу, задана двумя уравнениями (уравнение плоскости z = 0, уравнение сферы ), разбиваем область V на две части цилиндрической поверхностью .

Обозначим через  часть круга , а через  - часть кольца  лежащие в первой четверти плоскости XOY, а через V1 и V2 – части области V, проектирующиеся соответственно в  и . Тогда

Интегралы по областям V1 и V2   вычисляем, применяя формулы (1) и (2):

 

Примечание. Для перехода от двойного интеграла по области   к повторному надо предварительно область  разбить на части  и  (см.рис. 4.13.5.).

 

 

Математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач