Математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач

Математика
Примеры вычисления интеграла
Примеры решения задач типового расчета
Методы построения графика функции
Вычисление пределов функций
Функции и их графики
Пределы
Производные
Исследование функций и построение графиков
Векторная алгебра
Кривые и поверхности
Матрицы
Вычисление площадей
Аналитическая геометрия
Интегральное исчисление
Вычисление двойного интеграла
Вычислить тройной интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Выражение градиента
Изменить порядок интегрирования
График функции
Дифференциальное исчисление
Нахождение неопределённых интегралов
ТФКП
Кратные интегралы
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Математический анализ
Теорема Тейлора
Правило Лопиталя
Билеты к экзамену
Комплексные числа
Предел последовательности
Критерий Коши
 

Высшая математика

Вычисление интегралов и рядов
 
  • Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат Примеры. Записать двойной интеграл по заданной области и повторные интегралы.
  • Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла. К двойному интегралу .мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой . В этом и состоит его геометрический смысл.
  • Приложения двойного интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела, площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.
  • Замечание о несобственных двойных интегралах. Точно так же, как и в определенных интегралах, вводят несобственные двойные интегралы двух типов: интеграл от непрерывной функции по неограниченной области (первого рода) и интеграл от разрывной функции по ограниченной области (второго рода).
  • Тройной интеграл. Задача о массе пространственного тела.
  • Приложения тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле.
  • Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства Задача о массе кривой
  • Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Пример. Вычислить массу одного витка однородной (плотность равна k) винтовой линии: .
  • Вычисление криволинейного интеграла второго рода Пример. Вычислить интеграл  по трем различным дугам, соединяющим точки A(0,0,), B(1,1,)   - ломаная, соединяющая точки A, C(1,0), B, 
  • Вычисление площади области по формуле Грина.
  • Полный дифференциал и его вычисление Формула Ньютона – Лейбница.
  • Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала Пример. Вычислить интеграл .
  • Поверхностные интегралы. Задача о массе поверхности приводит нас к поверхностному интегралу 1 рода, точно так же, как задача о массе кривой привела нас к криволинейному интегралу первого рода.
  • Вычисление поверхностного интеграла первого рода Пример. Найти массу поверхности однородной полусферы , z>0 с постоянной поверхностной плотностью W.
  • Пример. Найти поток радиуса-вектора через полную поверхность тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью x + y + z = 1
  • Скалярное и векторное поля Пример. Задано поле . При С > 0 поверхности уровня – однополостные гиперболоиды, при С = 0 поверхность уровня – конус, при С < 0 поверхности уровня – двуполостные гиперболоиды.
  • Пример. Написать уравнения векторных линий векторного поля
  • Пример. Определить расположение источников и стоков векторного поля . Выяснить, является ли точка M(1,2,3) источником или стоком.
  • Формула Стокса. Ротор векторного поля.
  • Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью
  • Свойства потенциального поля
  • Свойства сходящихся рядов. Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный ряд будет сходиться, а сумма его будет в k раз больше суммы исходного ряда.
  • Интегральный признак Коши Пример. Применим интегральный признак к гармоническому ряду.
  • Признаки сравнения рядов Пример. Ряд  расходится, так как , а ряд  (гармонический) расходится .
  • Признак Даламбера.
  • Радикальный признак Коши
  • Знакопеременные ряды. Ряд называется знакопеременным, если среди членов ряда содержится бесконечное количество отрицательных членов и бесконечное количество положительных членов.
  • Знакочередующиеся ряды. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если знаки членов ряда чередуются, т.е. ряд имеет вид  .
  • Функциональные ряды Равномерно сходящиеся ряды.
  • Степенные ряды Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда
  • Рядом Тейлора называется степенной ряд вида
  • Применение степенных рядов. Вычисление значений функций Вычисление интегралов.
  • Примеры выполнения контрольной работы по математике
     
  • Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами  
  • Интегрирование методом замены переменной Пример Найти
  • Интегрирование по частям Пример Найти интеграл
  • Интегрирование рациональных дробей Таким образом, для интегрирования правильных рациональных дробей достаточно уметь: интегрировать простейшие дроби; разлагать правильные рациональные дроби на простейшие.
  • Пример Найти интеграл Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Разложим знаменатель на множители
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций Пример Найти интеграл
  • Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида , где R – рациональная функция своих аргументов .
  • Определенный интеграл
  • Вычисление определенных интегралов с помощью первообразных. Вычисление интегралов как пределов интегральных сумм на практике применяется крайне редко
  • Замена переменной в определенном интеграле. При вычислении определенных интегралов в некоторых случаях используется прием замены переменной или подстановки.
  • Интегрирование по частям. Для определенного интеграла имеет место формула интегрирования по частям
  • Приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
  • Пример. Вычислить площадь области, ограниченной кривой.
  • Пример. Вычислить длину астроиды , . Решение. Кривая астроиды состоит из четырех дуг равной длины
  • НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление интегралов с бесконечными пределами от непрерывных функций.
  • Пример Вычислить, если это возможно, .
  • Справочный материал к выполнению контрольной работы №1
  • Функция нескольких переменных и ее частные производные
  • Производные ФНП высших порядков Пример. Дана ФНП . Вычислим все её частные производные второго порядка.
  • Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
  • Функции комплексной переменной Определение и свойства функции комплексной переменной Пример. . Здесь  = x – iy – число, сопряженное числу z= x+iy.
  • Справочный материал к выполнению контрольной работы №2
  • Двойной интеграл Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
  • Тройной интеграл Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
  • Векторная функция скалярного аргумента Векторное поле Поток векторного поля через поверхность
  • Потенциальные и соленоидальные векторные поля Ротор векторного поля
  • Задача. Найти частные производные  и , если переменные x, y, и z связаны равенством  4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.
  • Задача. Поверхность  задана уравнением z =  + xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
  • Задача. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется: представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;
  • Задача. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.
  • Задача. Вычислить работу силы  при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L:  от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .
  •  Задача.  Дано векторное поле  и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0.
  • Вещественные и комплексные числа
     
  • Некоторые понятия теории множеств и математической логики
  • Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетные множества
  • Некоторые понятия математической логики Определенные интегралы
  • Комплексные числа
  • Определение комплексного числа Примеры решения задач курс лекций Схема исследования функций
  • Свойства комплексных чисел Решение примерного варианта контрольной работы по математике
  • Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
  • Ограниченное множество. Точные грани
  • Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
  • Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
  • Теорема Ферма о нуле производной
  • Теорема Ролля о нуле производной
  • Теорема Коши о конечных приращениях
  • Последовательности
     
  • Основные понятия, относящиеся к последовательностям
  • Предел последовательности
  • Некоторые свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
  • Верхний и нижний пределы последовательности
  • Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
  • Предел функции
     
  • Основные понятия, относящиеся к функции
  • Ограниченность. Точные грани
  • Элементарные функции
  • Определение предела по Коши
  • Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
  • Определение предела по Гейне
  • Непрерывные функции
     
  • Непрерывность в точке и на множестве
  • Простейшие свойства непрерывных функций
  • Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
  • Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
  • Критерий непрерывности монотонной функции
  • Непрерывность обратной функции
  • Дифференциальное исчисление Производные и дифференциалы высших порядков
      Определение производной Основные правила дифференцирования Производная сложной функции Функции заданные параметрически
    Формула Тейлора
      Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора Формула Тейлора для четных и нечетных функций
    Элементы теории кривых Плоские кривые
      Векторная функция скалярного аргумента Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
    Исследования характера поведения функций
      Условие монотонности функции Асимптоты функций Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат
    Определенные и неопределенные интегралы
     
  • Первообразная, неопределенный интеграл
  • Таблица неопределенных интегралов
  • Два основных метода интегрирования Замена переменного Интегрирование по частям
  • Интегрирование некоторых иррациональностей
  • Интегрирование дифференциальных биномов
  • Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
  • Определенный интеграл Векторное поле Поток векторного поля через поверхность
  • Интеграл Римана Определения
  • Суммы Дарбу и их свойства
  • Критерий интегрируемости
  • Классы интегрируемых функций
  • Свойства определенного интеграла
  • Теоремы о среднем, аддитивность по множеству
  • Определенный интеграл, как функция верхнего предела
  • Производная интеграла по верхнему пределу
  • Формула Ньютона-Лейбница
  • Методы вычисления определенных интегралов
  • Замена переменных в определенном интеграле Интегрирование по частям
  • Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме
  • Площадь плоской области
  • Квадрируемые фигуры
  • Свойства площади
  • Площадь криволинейной трапеции
  • Вычисление площадей областей, граница которых задана в полярных координатах.
  • Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения
  • Объем
  • Объем тела вращения
  • Площадь поверхности вращения
  • Первая теорема Гюльдена.
  • Несобственный интеграл первого рода
  • Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости
  • Свойства несобственных интегралов Интегрирование по частям Формула замены переменного
  • Метрика. Расстояние.
  • Неравенство Коши-Буняковского
  • Функции многих переменных Предел функции
  • Критерий Коши существования конечного предела
  • Определение непрерывности и простейшие свойства
  • Дальнейшие свойства непрерывных функций
  • Равномерная непрерывность функции многих переменных
  • Определение частной производной
  • Геометрическая интерпретация частных производных
  • Производная по заданному направлению Градиент
  • Гладкие поверхности Касательная и нормаль в поверхности
  • Геометрический смысл дифференциала
  • Частные производные и дифференциалы высших порядков Старшие производные
  • Дифференциалы высших порядков
  • Теорема Лагранжа для функций многих переменных
  • Формула Тейлора для функций многих переменных
  • Экстремумы функций многих переменных Необходимые условия экстремума
  • Достаточные условия для экстремума
  • Теория неявных функция Отображение и его матрица
  • Свойства матрицы Якоби и якобиана
  • Якобиан обратного отображения
  • Неявные функции Существование неявной функции одного переменного
  • Неявные функции многих переменных
  • Дифференцируемые отображения Дифференцируемость. Производные отображения
  • Регулярные отображения
  • Функциональная зависимость систем функций Необходимые и достаточные условия зависимости функций
  • Тройные и n-кратные интегралы
     
  • Определение тройного и n-кратного интеграла
  • Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда
  • Сведение тройного интеграла к повторному для областей общего вида
  • Замена переменных в тройном интеграле
  • Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы
     
  • Криволинейные интегралы 1-го рода Определение, существование
  • Свойства криволинейного интеграла 1-го рода
  • Криволинейные интегралы 2-го рода Определение, существование
  • Свойства криволинейного интеграла 2-го рода
  • Связь с интегралом 1-го рода
  • Формула Грина
  • Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования
  • Элементы теории поля
     
  • Поток векторного поля
  • Формула Остроградского Гаусса
  • Дифференциальные операторы 1-го порядка
  • Дифференциальные операторы 2-го порядка
  • Преобразования базисов и координат
  • Преобразование координат
  • Интегралы, зависящие от параметра
     
  • Собственные интегралы, зависящие от параметра
  • Интегрирование интегралов зависящих от параметра
  • Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра
  • Несобственные интегралы, зависящие от параметра
  • Непрерывность интеграла от параметра
  • Некоторые свойства функций Эйлера
  • Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра
  • Элементы тензорного исчисления
    Примеры решения задач типового расчета
     
  • Изменить порядок интегрирования
  • Повторный интеграл
  • Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х.
  • Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
  • Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.
  • Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями
  • Некоторые вопросы элементарной математики
  • Векторный анализ. Поверхностные интегралы. Теория поля.
  • Скалярное поле и его характеристики.
  • Интегрирование функций нескольких переменных . Двойной интеграли его свойства.
  • Определители и матрицы Правила вычисления определителей.
  • Предел монотонной функции.
  • Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Вычисление значений функций
  • Пример. Найти объем тела, образованного поверхностью , .
  • Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных
  • Дифференциальные уравнения первого порядка Найти общее решение уравнения:
  • Числовые ряды Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:
  • Наибольшее или наименьшее значение функции многих переменных. При нахождении наибольшего и наименьшего значений (т.е. глобального максимума и минимума) функции нескольких переменных, непрерывной на некотором замкнутом множестве, следует иметь в виду, что эти значения достигаются или в точках экстремума, или на границе множества.
  • Рассмотрим три основных метода интегрирования. Непосредственное интегрирование Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.
  • Интегрирование тригонометрических функций Рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида .
  • Интегральное исчисление функций одной переменной
  • Несобственные интегралы Определенный интеграл , где промежуток интегрирования [а; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], называют еще собственным интегралом.
  • Схемы применения определенного интеграла
  • Объем тела вращения Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , х = 0,   вокруг оси Оу
  • Полярные координаты Пример Найти длину кардиоиды r = a (1 + cosj).
  • Полный дифференциал функции
  • Производная функции в данном направлении. Производной функции z=f(x,y) в данном направлении  называется , где  и  — значения функции в точках  и .
  • Интегрирование полных дифференциалов
  • Замена переменных в выражениях, содержащих частные производные. Пример. Уравнение колебаний струны
  • Формула Тейлора для функции нескольких переменных
  • Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач