Постулаты квантовой механики


Сущность тех процессов, которые происходят в науке в тот переломный момент, когда подавляющее большинство искренне верит в истинность и завершенность общепринятой системы взглядов о природе, хорошо передают слова известного историка Льва Гумилёва: «Конец и вновь начало». Так называется одна из его книг, которую я бы очень посоветовал прочитать. То, что для большинства кажется венцом развития, истиной в последней инстанции, оказывается лишь завершением некоторого этапа развития, началом нового, трудного восхождения, ведущего к коренной ломке устоявшихся взглядов и представлений и формированию новых представлений

Волновая функция

Я уже упоминал, что строение вещества, поведение систем на атомарном уровне классическая механика оказалась бессильной описать, то есть свойства систем атомарных масштабов не вписываются в правила игры классической механики и классической физики. Оказалось, что всё потому, просто, что исходные представления классической механики оказываются неприменимы в этом случае. И самое главное, что вообще исходное базовое понятие классической механики «частица», локализованный в пространстве объект, движущийся по определённой траектории с определённой скоростью, это исходное представление оказалось неприменимо. Хотя, употребляются слова «частица электрон летит», но картину электрон, который летит по определённой траектории, в каждой точке с определённой скоростью, выкиньте из головы, весь этот образ совершенно не работает, и мыв увидим, почему. Тепловые электростанции Газотурбинные тепловые станции

Классическая механика неприменима в этой области.

Проведём мысленный эксперимент. Пусть у нас имеется экран, в экране щель, на эту щель падает поток частиц (для определённости электронов), на пути этого пучка ставим непрозрачный экран со щелью, а за ним ставим другой экран, на котором регистрируются попадания электронов. Если пучок достаточной интенсивности, то мы будем наблюдать вот такое распределение интенсивности свечения (рис.1.а). Если электроны пускать поштучно, наберём статистику, получим вот такое распределение, пока всё нормально. Колебания и волны Свободные и вынужденные колебания в линейных инвариантных динамических системах. Преобразование Лапласа и его основные свойства.

А дальше мы делаем вот что: ставим две щели, что надо ожидать? От одной щели получаем такое распределение, от другой тоже, они накладываются, и ожидаемая картина такая (рис.1.b).

 


На самом деле, ничего подобного. Если мы поставим две щели, ожидаемая картина рис.1.b, а на самом деле мы получим вот такую картину распределения от двух щелей (рис.1.с).

Что тут удивительного? А удивительно вот что: в эту точку от одной открытой щели они попадают, если её закрыть, другую оставить, от другой они сюда тоже попадают, открываем две щели – не попадают. От каждой попадают, от двух щелей не попадают, это, конечно, уже удивительное обстоятельство. Можно подумать, что эти пучки электронов от двух щелей как-то хитро взаимодействуют друг с другом и дают такое диковатое распределение. Можно проверить взаимодействуют или нет: пучок электронов можно сделать очень слабым, ну, поштучно пропускать (один пустили и ждём, другой пустили и ждём…), тогда мы будем регистрировать на экране одиночные акты попадания (тут выпала точка, тут выпала точка…). Будет следующее: если они летят поштучно при открытой верхней щели, а нижней закрытой, мы получим, наберя статистику, вот такое распределение (рис.1.a), закроем верхнюю щель, откроем нижнюю, получим такое же распределение, откроем обе щели – опять такое (рис.1.с).

Он летит один, – если открыты две щели, он сюда (см. примечание 1) никогда не попадёт, открыта одна щель, он сюда попадёт. Тогда спрашивается, откуда он, подлец, знает, что делается со второй щелью, открыта она или закрыта она, или он проходит одновременно через две щели, раздваивается? Тоже можно проверить, как проверить? В принципе, можно наблюдать прохождение частицы через щель (грубо говоря, в микроскоп). Посадим двух наблюдателей, начнём поштучно пропускать электроны, тогда, если один наблюдатель кричит «есть», то другой молчит, у него нет, – электрон не раздваивается. Опять встаёт тот же вопрос, откуда он знает о второй щели? И ответ такой: вопрос снимается сам собой! Если мы здесь поставим этих соглядатаев, которые фиксируют прохождение электронов либо здесь, либо здесь, вот эта вся картина (рис.1.c) разрушается, получается вот такая (рис.1.b). Вот таково поведение частиц, и именно вот это поведение выражается словами частицы обладают волновыми свойствами. Почему волновыми? Да, потому что это типичная картина интерференции от двух щелей.

Если мы имеем две щели, то мы должны считать, что на эти щели падает волна, получается вот такая интерференционная картина (это только, если мы имеем две щели и никаких микроскопов, никаких соглядатаев, которые ловят эту частицу на месте преступления). Если мы имеем две щели с микроскопами, частица ведёт себя как частица и никакой интерференции не происходит. Это резюмируем так, что в определённых ситуациях частицы проявляют волновые свойства, то есть демонстрируют вот такую интерференционную картину, в других определённых ситуациях они ведут себя как нормальные частицы

Ну и тогда понятно, куда же тут соваться нам с классической механикой? Никакой интерференции, конечно, классическая механика не предусматривает. Тот факт, что открыты две щели или открыта одна щель влияет на распределение частиц на экране, говорит о том, что понятие траектории неприменимо, потому что, когда идёт такое распределение, нельзя приписать электрону определённую траекторию. Потому что траектория должна была бы проходить либо здесь, либо здесь, она не может пройти одновременно через две щели, а он ведёт себя так, как будто он знает про вторую щель. Значит, понятие траектории не применимо, ну и соответственно рушится тогда вообще вся схема, которую мы изучали (классическая механика).

Для описания поведения частицы в атомарных масштабах пришлось создать совершенно другую науку. В начале девятисотых годов начало появляться такое неуютное ощущение, что с физикой что-то не в порядке, она не справляется с проблемами, и вот за четверть века всё это было решено.

Вот теперь мы начнём рассматривать, как были решены эти проблемы. Теперь вы можете забыть всю классическую механику. Многим из вас, даже очень многим из вас, это будет не легко, помню, как многие из вас на зачёте по механике мучились. Выкиньте всё это из головы и забудьте как страшный сон, у вас впереди новое, похуже классической механики. Опять вы будете мучиться, но то вы можете забыть.

Состояние частицы в классической механике задаётся радиус-вектором и импульсом. Что означает задать состояние? Это означает на столько охарактеризовать объект, чтобы дальше соответствующий раздел науки мог предсказать, как этот объект будет развиваться. Понятно, что смысл этих слов в различных разделах физики различен. Вот, мы недавно электричество рассматривали, что значит дать исчерпывающее описание объекта с точки зрения электричества? Надо дать распределение плотности заряда и плотности тока. Что значит задать состояние объекта с точки зрения теоретической механики? Это значит задать распределение масс, то есть плотность обычную, и напряжения. В квантовой механике мы не можем задать вот эти переменные.

Состояние частицы в квантовой механике задаётся волновой функцией , то есть функцией координат и времени, заданной в каждой точке пространства, это комплексная функция. Значит, что вы должны уловить: в классической механике мы задаём координаты и импульс частицы, в квантовой механике этого сделать нельзя, а вот когда мы хотим охарактеризовать состояние частицы, мы должны задать вот такую функцию.

Волновая функция содержит исчерпывающую информацию о состоянии частицы, то есть она позволяет дать ответы на все разумные вопросы относительно характеристик частицы. Слово «разумные» я употребил тут не ради красного словца, а со смыслом. Дело в том, что те вопросы, которые в рамках классической механике выглядят и являются разумными, не являются разумными в квантовой механике. Ну, сейчас проиллюстрируем это дело. Волновая функция имеет такой смысл: это прежде всего комплексная функция, и  - это есть вероятность того, что частица будет обнаружена в окрестности точки , в элементе объёма . Первое важное обстоятельство: предсказания в квантовой механике носят принципиально вероятностный характер, это означает, что законы природы на фундаментальном уровне носят вероятностный характер.

Это надо прокомментировать. Скажем, вопрос, где находится частица, является неразумным, на него не может быть дан ответ, потому что само понятие частица находится в какой-то точке оказывается лишённым смысла. Вот, молекулы воздуха тут летают, тоже вводится вероятностное описание (просто мы не можем уследить за каждой из этих молекул), мы знаем, что она где-то есть, но мы не знаем где она. Поставим ящик, мы можем рассчитать вероятность того, что она находится в ящике. Там вероятность это мера нашего незнания, в квантовой механике эта вероятность чисто реальная: пока мы частицу не обнаружили, она потенциально находится всюду, не то, что она где-то есть, а мы не знаем где, само представление, что она где-то есть, лишено смысла. Она потенциально находится всюду, где волновая функция отлична от нуля. А когда мы локализуем это (экран поставили, там электроны обнаруживаются), вот только в этом акте измерения это потенциальное нахождение всюду оно актуализируется. Есть разница в представлениях, что она где-то есть и мы не знаем где, и тем, что она потенциально всюду, пока мы её не поймали в этой точке. Ещё раз повторю, все фундаментальные законы носят вероятностный характер.

В прошлый раз мы остановились на обсуждении волновой функции и на такой формуле: . Ещё раз повторю, что вот эта вещь (короче можно записать в таком виде ) это вероятность того, что частица будет обнаружена в элементе объёма  в окрестности точки . Волновая функция задана на всём пространстве, и вероятность обнаружения частицы в разных точках различна. Я уже говорил, ещё раз повторю, что в квантовой теории предсказания носят принципиально вероятностный характер, это связано не с тем, что частица по теории вероятности обнаружится, а с тем, что частица где-то есть, а мы не знаем где. Ситуация более драматичная: частица потенциально есть всюду, где , и потом где-то она обнаруживается (что-то такое происходит, где-то там частица провзаимодействовала с чем-то).

Если волновая функция частицы известна, то, очевидно, известно всё, что можно знать. Волновая функция исчерпывающе описывает состояние частицы, то есть может дать ответы на все разумные вопросы. Нюанс только в том, что вопросы, которые в рамках классической физики разумны, например, вопрос, где находится частица, разумный, он здесь оказывается неразумным, и ответ на него дать нельзя. Какие вопросы разумны, какие нет, мы дальше увидим по ходу дела, но в квантовой механике обнаружилось, что не на всякий вопрос, сформулированный на обыденном языке, может быть дан ответ. Нашей задачей будет научиться давать ответы на разумные вопросы. А пока двигаемся дальше.

Закон Кирхгофа

Для характеристики теплового излучения, мы будем пользоваться величиной потока энергии, измеряемой в ваттах.

Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π), называют энергетической све­тимостью тела Rэ.

Излучение состоит из волн различных частот ω (или длин λ). Обозначим поток энергии, испускаемый едини­цей поверхности тела в интервале частот dω, через dRω (чтобы не усложнять обозначений, мы опустили индекс «э» при R). При малой величине интервала dω поток dRω будет пропорционален dω

 (1)

Величина rω называется испускательной спо­собностью тела. Опыт показывает, что испускательная способность сильно зависит от температуры тела. Таким образом, rω есть функция частоты и температуры. Соответственно и энергетическая светимость является функцией температуры.

Зная испускательную способность, можно вычислить энергетическую светимость:

  (2)

 (чтобы подчеркнуть, что энергетическая светимость и испускательная способность зависят от температуры, мы их снабдили индексом «T»).

Излучение можно характеризовать вместо частоты со длиной волны λ. Участку спектра dω будет соответство­вать интервал длин волн dλ. Определяющие один и тот же участок величины dω и dλ связаны простым соотно­шением, вытекающим из формулы: λ = c/v = 2πс/ω. Диф­ференцирование дает:

  (3)

Знак минус в этом выражении не имеет существенно­го значения, он лишь указывает на то, что с возраста­нием одной из величин, ω или λ, другая величина убы­вает. Поэтому знак минус в дальнейшем мы не будем писать.

  • Уравнение Шрёдингера
  • Решение уравнения Шрёдингера для свободной частицы
  • Длина волны Дебройля (де Бройля)
  • Волновые пакеты. Соотношения неопределённостей
  • Расплывание волновых пакетов
  • Стационарные состояния
  • Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект
  • Связанные состояния. Частица в ящике
  • Напомню, в чём состоит классический механизм. Если заряженную частицу поместить в электромагнитное поле, то возникает действующая на частицу сила Лоренца, под влиянием которой частица совершает вынужденные колебания. На процесс раскачивания частицы затрачивается энергия электромагнитной волны – происходит поглощение энергии электромагнитного поля заряженной частицей.
    Классическая теория теплоёмкости