Постулаты квантовой механики

Курс лекций по физике Элементы квантовой механики

Давайте перенесемся в историю развития физики еще на 30-40 лет назад, чтобы проследить, на каком этапе находилась физика перед возникновением квантовой механики. Итак, мы во второй половине XIX века. Что можно сказать об уровне развития физики в то время? Прошло несколько десятилетий после открытия Максвеллом уравнений электромагнитного поля и написания основополагающих работ по статистической физике – работ Больцмана. Эти результаты - величайшее достижение физики. Новые теории были применены к описанию явлений электромагнетизма и статистической физики и были получены замечательные результаты – согласие предсказаний теории и экспериментальных данных практически по всем проблемам, за исключением двух проблем, о которых скажем чуть позднее. Поскольку практически всё в физике было понято и описано, это дало основание считать, что физика как наука полностью завершена. Общее мнение подавляющего большинства физиков того времени было единодушным: фундамент физики полностью построен, так что в физике уже нечего делать.

Мы с вами обсудили некоторые аспекты физики систем атомных масштабов, волновые свойства частиц, квантование энергии, туннельный эффект… Это всё были отдельные фрагменты, не связанные более-менее друг с другом, это ситуация на заре создания теории, когда обнаружилась длина волны де Бройля, интерференция. И многого мы вообще не знаем, например, знаем волновую функцию, а что мы получим при измерении импульса? Мы ещё не умеем отвечать на такие вопросы. Сейчас мы обсудим как устроена окончательная теория.

От первой модели атома Бора и до окончательной формулировки теории прошло 10-12 лет, и мы сейчас обсудим, как вообще строится вся эта теория.

Если сравнивать с классической механикой, раз нет траектории, скоростей, ускорений, сил, то понятно, что математическая структура должна быть другой. Можете сейчас забыть про классическую механику, можете даже забыть то, что мы до сих пор тут обсуждали, и сейчас мы снова будем смотреть незамутнённым взглядом на новую теорию. И тут нужны некоторые математические подмостки 

Векторы и операторы 

Вы знаете векторную алгебру (линейную алгебру), и заодно вы увидите, что не зря вы её изучали, оказывается, есть к чему её применить.

 Ядерные реакции и их основные типы

Обозначения:

 

 – вектор a в n-мерном (может быть, бесконечномерном) абстрактном пространстве. Столбец из n чисел  задаёт компоненты вектора a в n-мерном пространстве. Когда вы видите такую штуку , это означает, что мы имеем набор n чисел, которые можно организовать в матрицу-столбец.

 

 – вектор сопряжённый , это матрица-строка .

Удобство этих обозначений состоит вот в следующем:  – это число, скалярное произведение двух векторов: . Ясно, что такая штука  – скалярное произведение вектора на сопряжённый ему вектор, это будет действительное число, . А вообще, кстати, ясно следующее, что .

 

Такое равенство  расшифровывается так: есть правило, которое вектору  ставит в соответствие вектор , и это правило обозначают буквой . Говорят, на вектор  действует некоторый оператор, в результате действия которого, мы получаем вектор .

Если имеет место такое равенство , то оператор называется линейным. Дальше, когда идёт речь об операторах, имеются в виду только линейные операторы.

Каким образом можно задать это правило, то есть как можно задать оператор? Если оператор  линейный, то вот такой строчкой: . Эта строчка – сжатое изображение вот такого: . Значит, любой линейный оператор будет представлен квадратной матрицей размерности . Задайте квадратную таблицу , любых чисел навтыкайте туда, эта матрица представляет линейный оператор.

Любая матрица  представляет некоторый оператор , из неё можно получить другие матрицы, например, можем устроить транспонированную матрицу (отобразить её относительно главной диагонали), получим другую матрицу, то есть другой оператор. Можно не только сделать транспонированную матрицу, а сначала транспонировать и взять ещё комплексно сопряжённые элементы, ещё одну матрицу получим, получим другой оператор снова.

Если матрица оператора  получается из элементов матрицы оператора   с помощью транспонирования и комплексного сопряжения элементов: , то оператор  называется эрмитово сопряжённым к оператору .

Если , тогда оператор  называется самосопряжённым или эрмитовым.

Если , где α – число, то вектор  называется собственным вектором оператора , а αсобственным значением, отвечающим этому собственному вектору.

 

Оказывается, что эрмитов оператор , то есть оператор, для которого верно вот такое равенство , имеет n собственных векторов, которые будем обозначать , при этом собственные значения, отвечающие этим векторам действительны, то есть  и . И ещё замечательная вещь такая: скалярное произведение двух собственных векторов равно: , собственные векторы эрмитова оператора ортогональны, а соответствующие им собственные значения действительны. Это наш реквизит, это факты математические, а теперь возвращаемся к физике.

Заменив в формуле Рэлея — Джинса kT выражением (34), получим формулу, найденную Планком:

  (35)

Эта формула, как уже отмечалось, точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до ∞. Она удовлетворяет критерию Вина (26). При условии, что ħω/kT<1 (малые частоты или большие длины волн),  можно положить равным приближенно 1 + ħω/kТ, в результате чего формула (53.9) переходит в формулу Рэлея — Джинса. Это следует также непосредственно из того, что при указанном условии выражение (35) приближенно равняется kT.

Осуществив преобразование по формуле (35), получим:

  (36)

На рис. 8 сопоставлены графики функций (35) и (36), построенные для одной и той же температуры (5000° К). Масштабы по оси абсцисс логарифмические и выбраны так, что связанные соотношением λ = 2πс/ω значения λ и ω совмещены друг с другом. Из рисунка видно, что частота ωm, соответствующая максимуму f(ω,Т), не совпадает с 2πс/λm, где λm — длина волны, отвечающая максимуму φ(λ,Т).

Для энергетической светимости абсолютно черного тела получается выражение:

.

Введем вместо ω безразмерную переменную х = ħω/kT. Подстановка ω = (kT/ħ)x, dω = (kT/ħ)dx преобразует формулу для R*э к виду:

.

Определенный интеграл в последнем выражении может быть вычислен. Он равен π4/15 = 6,5. Подставив его значение, мы придем к закону Стефана — Больцмана:

  (37)

Подстановка в эту формулу численных значений k, с и ħ дает для постоянной Стефана — Больцмана величину 5,6696∙10-8 вт/м2∙град4, очень хорошо согласующуюся с экспериментальным значением (37).

  • Утверждения
  • Операторы динамических переменных. Координатное представление
  • Оператор энергии
  • Оператор импульса
  • Момент импульса
  • Спин
  • Средние значения динамических переменных
  • Изменение средних со временем
  • Атом водорода. Частица в центрально симметричном поле
  • Система тождественных частиц
  • Квантовая статистика
  • Равновесное электромагнитное излучение в полости
  • Но колебания частицы являются ускоренным движением, при ускорении частицы способны излучать электромагнитные волны. Следовательно, часть энергии частица испускает в виде электромагнитных волн. Значит, классический механизм состоит в вынужденных колебаниях заряженной частицы в электромагнитном поле, в результате которых частица поглощает и одновременно испускает электромагнитные волны. Каков же квантовый механизм взаимодействия излучения с веществом? С квантовой точки зрения, взаимодействие света с веществом представляет собой столкновение фотонов с частицами вещества, при котором происходит обмен энергией и импульсом между электронами, атомами, молекулами, с одной стороны, и световыми квантами - с другой. Этот обмен приводит к излучению и поглощению электромагнитных волн веществом.


    Классическая теория теплоёмкости