Примеры решения задач типового расчета

Машиностроительное черчение
Выполнение сечений
Правила выполнения технических чертежей
Виды аксонометpических пpоекций
Эскиз детали
Нанесение размеров на чертежах
Чтение сборочных чертежей
Основные способы проецирования
Сопротивление материалов
Сопромат задачи
Сопротивление материалов примеры
Кинематика примеры решения задач
Статика примеры решения задач
Физика, электротехника
Электротехника
Электромагнетизм
Расчет режимов трехфазных цепей
Расчет электрических цепей постоянного и переменного тока
Методы расчета электрических цепей
Примеры  решения типовых задач по электротехнике
Физика оптика Курс лекций
Примеры решения задач по классической физике
Примеры решения задач контрольной работы по физике
Физика решение задач
Молекулярная физика и термодинамика
Курс лекций по атомной физике
Ядерная модель атома
Квантовая механика
Рентгеновские спектры
Первый газовый лазер
Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории.
Полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы)
Радиоактивное излучение и его виды
Ядерные реакция

Понятие о ядерной энергетике

Информатика
Лекции Java
Язык JavaScript
Интернет
Язык PHP
Архитектура ПК
Высшая математика
Вычисление интегралов и рядов
Примеры вычисления интеграла
Примеры выполнения контрольной работы по математике
комплексные числа
Последовательности
Предел функции
Непрерывные функции
Дифференциальное исчисление
Формула Тейлора
Определенныеинтегралы
Двойной интеграл
Тройные интеграл
Криволинейные интегралы
Элементы теории поля
Интегралы от параметра
Элементы тензорного
исчисления
Примеры решения задач
Теория множеств
Построения графика функции
Элементарная математика
Интегралы
Кратные интегралы
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Интегральное исчисление
Дифферинциальные урав.
Элементарная математика
Математический анализ
Мат. анализа часть 3
Комплексные числа
 

 

Вычисление пределов функций

С помощью правила Лопиталя

Пример

Другие неопределенности

Пример Найти пределы

  Найти предел .

Пример Найти пределы:а) б)

 

Матрицы

Определители матриц

Свойства определителей

Методы вычисления определителей

Производная сложной функции примеры решения задач

Примеры

Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель

Обратная матрица

Примеры

Решить матричное уравнение

Базисный минор, ранг матрицы

Примеры

Вычислить методом окаймления ранг матрицы

Непрерывность. Точки разрыва

Об асимптотах графика функции

Доказать, что функция  непрерывна в точке х0=3.

Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

д) .

е) .

Исследовать функции на непрерывность, в точках устранимого разрыва доопределить функцию для устранения разрыва:

,

.

.

Указать значения параметров a и b, при которых функция непрерывна

Найти точки разрыва, уравнения асимптот функции  и построить ее график.

Применение формулы Тейлора при вычислении предела функции

Формула Тейлора

Разложить по формуле Тейлора функции

Представить в виде многочлена Тейлора функции

Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

Вычислить пределы

Найти главные члены для функций  и  и найти предел .

Вычислить предел функции .

Найти предел функции .

Физические приложения определённого интеграла

. Вычисление статических моментов

1. Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.

Решение. Выберем центр окружности в качестве начала координат, а диаметр расположим по оси Ох. Тогда ,

где   — дифференциал длины дуги кривой .

Уравнение полуокружности

.

 

Найти статический момент прямоугольника с основанием  и высотой  относительно его сторон.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось  совпала с основанием, а начало координат — с вершиной прямоугольника, ось Оу совпала с высотой прямоугольника. Тогда , в нашем случае .

Для вычисления  следует принять за независимую переменную при , но это приведёт к виду , который подстановкой  приводится к , но проще опять выразить через ,
т. е.   и по подстановке  приведём к . Обозначим , т. е.

   при ,  и при , , так что

.

Исходный интеграл будет

Но т. к.   не существует, то возможен только , т. е. окончательно

.

Найти статический момент тела, ограниченного одной аркой циклоиды   относительно оси Ох.

Решение. Параметр для одной арки циклоиды изменяется от до .

Найти статические моменты:

Дуги эллипса , расположенной в первой четверти относительно осей Ох и Оу.

Дуги параболы  относительно осей Ох и Оу от  до .

Дуги астроиды , лежащей в первой четверти относительно оси Оу.

Дуги косинусоиды  от  до  относительно оси Ох.

Фигуры, ограниченной следующими линиями:

а)  и  относительно оси Ох;

б)   и  относительно оси Ох.

Прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом, равным , относительно этого катета.

Вычисление координат центра тяжести. Теоремы Гюльдена

Найти координаты центра тяжести цепной линии  между  и .

Решение. Т. к. дуга симметрична относительно оси , то центр тяжести лежит на оси Оу и, следовательно . Найти   по формуле .

Т. к. , то  и, следовательно,

.

.

.

 

Найти центр тяжести одной арки циклоиды

.

Решение. Т. к. арка циклоиды расположена симметрично относительно прямой , то центр тяжести дуги циклоиды лежит на этой прямой и, следовательно, .

Найдем . Длина дуги одной арки циклоиды равна .

.

Найти центр тяжести дуги кардиоиды .

Решение. Декартовы координаты .

;

 

. Для половины кардиодиды .

Сначала находим

 

Найти центр тяжести однородной треугольной пластинки.

Решение. Разбиваем данную пластинку прямыми параллельными одной из сторон на бесконечно тонкие полоски. Площадь полоски, отстоящей на расстояние   от данной стороны а, равна 

, где  — высота, опущенная на сторону а, а — ширина полосок. Следовательно, расстояние центра тяжести от этой стороны равно:

.

Таким образом, центр тяжести треугольника находится на расстоянии, равном   высоты от соответствующей стороны, т. е. в точке пересечения его медиан, ибо это единственная точка, обладающая таким свойством.

Найти центр тяжести площади, ограниченной осью Ох и одной аркой циклоиды .

Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой , следовательно, центр тяжести ее находится на этой же прямой и отсюда .

Площадь данной фигуры , следовательно,

 

 

По теореме Гюльдена вычислить площадь поверхности тора, образованного вращением круга радиуса вокруг оси, расположенной в его плоскости и отстоящей от центра его на расстояние .

Решение. Т. к. длина данной окружности равна , а длина окружности, описанной центром тяжести ее, равна , то площадь поверхности тора, по 1-й теореме Гюльдена, равна

.

Вычислить объем и боковую поверхность прямого кругового конуса.

Решение. Боковая поверхность конуса с высотой , образующую  и радиусом основания  получается при вращении гипотенузы длиной вокруг катета длиной . Центр тяжести гипотенузы находится на ее середине и удален от оси вращения на . Поэтому, по первой теореме Гюльдена, боковая поверхность равна .

Площадь треугольника равна  центр тяжести его, находясь на пересечении медиан, отстоит от катета  на расстоянии, равным  высоты, опущенной на этот катет, т. е. , следовательно, по 2-й теореме Гюльдена, объем конуса равен .

 

 

 

Найти центры тяжести

1. Найти координаты центра тяжести дуги кривой  между точками, для которых  и .

2. Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а в первой четверти.

3. Найти центр тяжести дуги гипоциклоиды  , расположенной в первой четверти.

4. Найти центр тяжести половины площади эллипса, опирающейся на большую ось.

5. Найти центр тяжести фигуры, заключенной между параболой  и осями координат.

6. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной эллипсом  и окружностью  и расположенной в первой четверти.

7. На цилиндре, имеющем диаметр b см, кругом вдоль поверхности вырезан канал, имеющий поперечным сечением равносторонний треугольник со стороной a см (a<b). Вычислить объем срезанного материала.

8. Правильный шестиугольник со стороной a вращается вокруг одной из сторон. Найти объем тела, которое при этом получается.

9. Первая арка циклоид  и

вращается вокруг оси 0y. Найти объем и поверхность тела, которое при этом получается.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач