Методы построения графика функции

 

Механический метод

Параллельный перенос

Пример. График функции  получаем из графика сжатием в 2 раза ( рис.6а ), а график функции  - из графика растяжением в 2 раза

Пример. График функции y=2sinx получаем из графика функции  y=sinx растяжением от оси ОХ в 2 раза(рис.7а), а график функции y=0,5sinx – сжатием к оси ОХ в 2 раза

Пример. График функции  ( рис.9б ) получаем с помощью графика функции (рис.9а). Верхняя часть графика сохраняется, а нижняя – отображается симметрично оси ОХ.

 Пример 3.1. Построить график функции . Решение. Эта функция вида , то есть четная функция и, следовательно, график ее симметричен относительно оси OY.

Пример 3.2. Построить график функции .

Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций

Пример 3.3. Построить график функции .

Пример 3.4. Построить график функции .

Пример 3.5. Построить график дробно-линейной функции .

Пример 3.6. Построить график функции .

Найти объёмы тел вращения

1. Астроиды вокруг оси Ох.

2. Циклоиды:  около оси Ох.

3. Циклоиды: ;  вокруг оси Ох и вокруг оси Оу.

4. Сегмента параболы  отсекаемого хордой, проходящей через фокус параболы перпендикулярной к оси  вокруг оси  и оси Оу.

5. Гиперболой  и прямыми ,  вокруг оси Ох.

6. Одной полуволны синусоиды  вокруг оси Ох.

7. Конуса, производимой вращением вокруг оси части прямой , содержащейся между осями координат.

8. Кривой  вокруг оси Ох.

Площади поверхности тел вращения

1. Определить площадь поверхности параболоида, образованного вращением дуги параболы  вокруг оси Ох от   до .

Решение. .

.

2. Найти площадь поверхности шара радиуса R. Будем рассматривать шар как поверхность, полученную в результате вращения полуокружности  вокруг оси Ох, тогда ; т. к.  — четная функция,

то.

 

Найти площадь поверхности образованной вращением вокруг каждой из осей циклоиды   .

Решение. Площадь поверхности вращения вокруг оси Ох  для целой ветви, а вокруг оси Оу — для полуветви , взятыми между соответствующими пределами.

так, что

,

но

т. е.  равна   поверхности соответствующего шара,   равна  поверхности соответствующего шара.

Найти площадь поверхности вращения эллипсоида.

Решение. Если эллипс  вращается около большой оси , то получается «удлинённый» эллипсоид вращения, а если около малой оси , то — «сжатый». Площади их поверхностей не одинаковы и выражаются формулами:

  , где , но

, так что

, где  — эксцентритет,

; , и тогда

,

   

  

,

т. е. ;

.

 

Найти площади поверхностей вращения:

1. Астроиды около оси Ох .

2. Тора, т. е. кольца, полученного от вращения круга около оси, лежащей в его плоскости, но не пересекающей его площадь.

3. Задача Вивиани: найти площадь поверхности, вырезаемого из шара двумя прямыми круговыми цилиндрами, имеющими в основании круги, построенные на радиусах шара и общей образующей — диаметр шара.

4. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса  вокруг оси Ох.

5. Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой ;  вокруг оси Ох.

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги синусоиды   от точки  до точки .

7. Вычислить площадь поверхности конуса с высотой  и радиусом .

8. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты  вокруг полярной оси.

9. Найти площадь поверхности, полученной вращением кардиоиды   вокруг полярной оси.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач