Примеры решения задач типового расчета

 

Введем новое недействительное число, квадрат которого равен –1.

Алгебраическая форма комплексного числа

Пример задач с комплексными числами

Решить квадратные уравнения

Данную дробь представить в виде суммы более простых дробей

Геометрическое представление, тригонометрическая и показательная формы Связь сферических и декартовых координат Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.

Главное значение аргумента

Построить на комплексной плоскости и представить в тригонометрической и показательной формах

Представить в показательной форме числа

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

  Пример Выполнить действия:

  Пример Найти все значения корней:

  Пример Решить уравнение .

 Пример Доказать

Пример Доказать

Найти длину кривой .

Решение. Когда угол φ изменяется от 0 до , полярный радиус ρ возрастает от 0 до а. Затем при изменении φ от  до 3π величина ρ убывает от а до 0. Таким образом, .

Вычислить длину дуги:

1. Цепной линии

2. Кардиоиды .

3. Астроиды .

4. Эвольвенты круга .

5. Кривой, заданной уравнениями ,

.

6. Винтовой линии: , , h — ход винта.

7. Одного витка спирали Архимеда .

Вычисление объемов тел

1. Вычислить объем шарового слоя, вырезанного из шара  плоскостями х = 1 и х = 2.

Решение. Плоскости, перпендикулярные к оси Ох, пересекают шар по окружностям радиуса . Площадь сечения , тогда .

2. Вычислить объем тела, отсекаемого от кругового цилиндра радиуса а плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклоненной к основанию под углом α.

Решение.

Рис. 10

Разобьем тело на слои плоскостями, перпендикулярными к оси Oy. В сечении плоскостью, отстоящей от начала координат на расстоянии у, получим прямоугольный треугольник МРВ, у которого , ; ,

.

Вычислить объем поверхности эллипсоида .

Решение.

В первой октанте сечения, перпендикулярные оси Ох дадут четверти эллипсов. Выразим площадь перпендикулярного сечения в виде функции от переменного х. Например, сечение DEF имеет площадь . Найдем DE как ординату кривой АВ, то есть  . Таким же образом найдем EF. Из уравнения кривой АС: ; так что ,

.

 

Вычислить объемы тел:

1. Эллиптического параболоида , ограниченного плоскостью .

2. Вырезанного из шара двумя цилиндрами, имеющими в основании круги, построенные на радиусах шара и общей образующей — диаметр шара (задача Вивиани).

3. Образованного пересечением двух цилиндров (прямых круговых) под прямым углом.

4. Ограниченного однополостным гиперболоидом  и плоскостями  и .

5. Правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а и высотой h.

6. Отсеченного от кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания. Радиус основания равен R, высота тела равна h.

Объемы тел вращения

1. Вычислить объем эллипсоида вращения вокруг оси Ох.

Решение. Эллипс  вращается вокруг оси Ох.  ,

2. Найти объем тора, образованного вращением круга  вокруг оси Ох.

Решение. Объем тора равен разности объемов, полученных от вращения криволинейных трапеций, одна из которых ограничена сверху верхней полуокружностью, а другая ограничена сверху нижней полуокружностью. С боков обе трапеции ограничены ординатами  и  и снизу осью Ох.

Для верхней полуокружности , а для нижней — , то

Вычислить объем прямого конуса высотой h и радиусом основания r.

Решение. Будем рассматривать конус как тело вращения прямоугольного треугольника около одного из катетов.

Уравнение ОА будет .

.

4. Найти объем тела, полученного от вращения кругового сегмента с хордой 2а вокруг оси, параллельной хорде.

Решение.

Уравнение окружности , а уравнение прямой АС: .

Искомый объем есть разность объема шара и объема, полученного от вращения прямой  вокруг оси Ох.

,

так как

.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач