Вещественные и комплексные числа http://lestnitza.ru/ строительство лестницы. Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Примеры решения задач типового расчета

 

 

Выражение в правой части называется повторным интегралом.

Пусть область D задана в виде . Эта область снизу ограничена прямой , сверху - , слева кривой , справа кривой . Двойной интеграл от функции  по такой области вычисляется по формуле

(2)

  Метод наименьших квадратов Пусть проводится n однородных испытаний или экспериментов, и результатом каждого испытания является пара чисел – значений некоторых переменных x и y. Испытание с номером i приводит к числам xi,yi. В качестве испытания можно, например, рассматривать выбор определенного предприятия в данной отрасли промышленности, величиной x считать объем производства продукции (например в миллионах рублей), величиной y – объем экспорта этого вида продукции (в миллионах рублей), и обследовать n предприятий отрасли. Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле

Для случая, когда область D разбита на две неперекрывающиеся области D1 и D2, справедливо следующее равенство:

(3)

 

Двойные интегралы в задаче 1 берутся по неперекрывающимся областям D1 и D2 . Поэтому, обозначив через  объединение областей D1 и D2, из (3) получим, что заданная сумма двойных интегралов от функции  (по областям D1 и D2)записанных в виде повторных интегралов, равна двойному интегралу функции по области D, т.е. выражению

(4)

 

Этот двойной интеграл нужно записать в виде повторного, используя формулу (1), если повторные интегралы в левой части полученного равенства были записаны по формуле (2). Если же эти повторные интегралы записаны по формуле (1), то двойной интеграл (4) нужно записать в виде повторного, используя формулу (2).

Поверхностные интегралы.

Пример. Вычислить поток вектора  через внешнюю сторону сферы, лежащей в первом октанте (рис. ): 

 Так как в первом октанте внешняя нормаль

 сферы со всеми осями координат образует 

 острые углы, то все три направляющих

  косинуса нормали неотрицательны.

 

Поэтому:

Вычислим первый интеграл, остальные будут по величине такие же.

Итак: 

Ответ: 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач