Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Решение примерного варианта контрольной работы №2

Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области  D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Указание. Считать плотность вещества .

Решение.

 Область D (рис. 11) представляет собой криволинейный треугольник MNK, где . Для определения координат точки М решаем систему уравнений:

Область D – правильная в направлении оси Oх, она задается системой неравенств:  где   – это уравнения линий, ограничивающих область слева и справа.

Найдем статический момент пластинки MNK относительно оси Ox по формуле (11):

.

Для вычисления двойного интеграла сводим его к повторному интегралу в соответствии с системой неравенств, задающих область D:

Ответы: Mx = 4,125 ед. стат. момента; область интегрирования на рисунке 11.

Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где r – полярный радиус точки.

Решение.

 Массу кругового цилиндра можно вычислить, используя тройной интеграл по области V, по формуле (12):

,

где – функция плотности, а V – область, соответствующая цилиндру.

Переходя к трехкратному интегралу в цилиндрических координатах, получаем:

,

где область интегрирования V (круговой цилиндр) можно задать системой неравенств:  при R = 0,5 и H = 2.

Для определения массы цилиндра нужно вычислить трехкратный интеграл:

.

Вычислим внутренний интеграл по переменной z: .

Затем находим интеграл по переменной r:

 Третий этап – вычисление внешнего интеграла по переменной φ:

.

Ответ:  ед. массы.

Замена переменной в определенном интеграле