Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется:

представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;

проверить, является ли функция w аналитической;

в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.

Решение.

1) Выделим действительную и мнимую части функции:

.

2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10):

Получили:. Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме особой точки z = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно,  функция  – аналитическая при .

3) Найдем производную функции:

.

Вычислим значение производной функции в точке z0 = – 1 + 3i.

Ответы:

1) ;

2) функция  аналитическая при ;

3) .

Замена переменной в определенном интеграле