Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2

Двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 2-х переменных z = f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой области xOy. Двойной интеграл от этой функции по области D имеет вид: , где .

Область xOy называется правильной в направлении оси Oy, если всякая прямая, параллельная оси Oy пересекает границу области не более, чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельных Oy).

Если область D – правильная в направлении оси Oy (рис. 2), то ее можно задать системой неравенств:

В этом случае двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x – постоянная (x = const); результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф (x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф (x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число.

Пример. Вычислить , если , D:

Если область D – правильная в направлении оси Oх (рис. 3), то она задается системой неравенств:  и тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.

Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:

.

  Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла: .

 

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область D задается в полярных координатах системой неравенств  Такая область (рис. 4) является правильной в полярной системе координат (каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках, за исключением участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).

Преобразование двойного интеграла по области D к полярным координатам осуществляется при помощи формул

:

.

Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:

.

 

Некоторые приложения двойных интегралов

 Если подынтегральная функция f (x, y) º 1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:

.

Если область D занята тонкой пластинкой и  – поверхностная плотность распределения неоднородного материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие величины.

Масса пластинки: m = .

Статический момент относительно оси Ox:

.  (11)

Статический момент относительно оси Oy: My = .

Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.

Замена переменной в определенном интеграле