Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

Говорят, что в двумерной области DxOy задано скалярное поле, если в каждой точке M(x, y) Î D задана скалярная функция координат точки:

U(M) = U(x, y).

Пример: скалярное поле температур T(x, y) в области D.

Линии уровня скалярного поля – это такие линии, на каждой из которых функция U(x, y) сохраняет постоянное значение.

Уравнения линий уровня скалярного поля: U(x, y) = const.

Геометрически линии уровня получаются, если поверхность z = U(x, y) пересекать горизонтальными плоскостями z = С и проектировать линии пересечения на плоскость xOy.

Градиентом скалярного поля U(x, y) в фиксированной точке   называется вектор, проекции которого на оси координат совпадают с частными производными функции, вычисленными в точке М0:

,  (7)

где векторы  – это орты координатных осей.

Вектор градиента  направлен перпендикулярно касательной к линии уровня, проходящей через точку М0. Направление градиента указывает направление наибольшего роста функции U(x, y) в точке М0 .

Отложим от фиксированной точки M0(x0, y0) некоторый вектор .

Скорость изменения скалярного поля U(x, y) в направлении вектора характеризует величина , называемая производной по направлению.

Если в прямоугольной системе координат xОy вектор  имеет направляющие косинусы cosa и cosb, то производная функции U(x, y) по направлению вектора  в точке М0 – число  – можно найти по формуле:

, (8)

Напомним формулы для вычисления направляющих косинусов вектора :

, где модуль вектора: .

Аналогично определяют скалярное поле U(M) в трехмерной области V:

U(M) = U(x, y, z), . Поверхности уровня скалярного поля – это такие поверхности, на каждой из которых функция U(x, y, z) сохраняет постоянное значение. Уравнения поверхностей уровня скалярного поля: U(x, y, z) = const.

Градиент скалярного поля U(x, y, z) в произвольной точке M(x, y, z):

, (9)

где векторы  – это орты координатных осей.

 Вектор  поля U(x, y, z) направлен параллельно нормали к поверхности уровня U(x, y, z) = const в точке М.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Графиком функции 2-х переменных z = f (x, y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость xOy в область определения функции D.

Рассмотрим поверхность σ, заданную уравнением z = f (x, y), где f (x, y) – дифференцируемая функция, и пусть M0(x0, y0, z0) – фиксированная точка на поверхности σ, т.е. z0 = f (x0, y0).

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.

 Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:

.  (5)

Вектор  называется вектором нормали к поверхности σ в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости (рис. 1).

Нормалью к поверхности σ в точке М0 называется прямая, проходящая

 через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке.

Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке M0(x0, y0, z0), где z0 = f (x0, y0), имеют вид:

.  (6)

 

 

Замена переменной в определенном интеграле