Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Справочный материал к выполнению контрольной работы №1

Функция нескольких переменных и ее частные производные

Определение функции нескольких переменных

Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y).

Обозначается: z = f (x, y) или z = z (x, y).

Пример. .

Аналогично определяются функции трёх и более переменных.

Примеры.   – функция трёх переменных;

  – функция n переменных.

Общее название: функции нескольких переменных (ФНП).

 

Частные производные ФНП

Ели одному из аргументов функции z = f (x, y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: – это частное приращение функции z по аргументу x; – это частное приращение функции z по аргументу у.

Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

– это частная производная функции z по аргументу x;

– это частная производная функции z по аргументу у.

Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример.   Þ

 

Полное приращение и полный дифференциал ФНП

Полным приращением функции двух переменных z = f (x, y) в точке (x, y), вызванным приращениями аргументов  и , называется выражение .

Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (x, y), если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое полное приращение функции.

Если обозначить  – расстояние между близкими точками  и (х, у), то  – это определение непрерывности ФНП на языке приращений.

Если функция z = f (x, y) непрерывна в любой точке (х, у)ÎD, то она называется непрерывной ФНП в области D.

 Функция z = f (x, y), полное приращение Dz которой в данной точке (x, y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно  и , и величины, бесконечно малой более высокого порядка малости относительно , называется дифференцируемой ФНП в данной точке, а линейная часть ее полного приращения называется полным дифференциалом ФНП.

Если , где   –бесконечно малые при , то полный дифференциал функции z = f (x, y) выражается формулой: , или:

  (1)

(приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами: Dх = dx, Dy = dy).

Из определения полного дифференциала следует его связь с полным приращением: при малых  и  полное приращение функции Dz примерно равно ее полному дифференциалу:  с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости относительно .

Полный дифференциал функции z = f (x, y) зависит как от точки M(x0, y0), в которой он вычисляется, так и от приращений  и .

Замена переменной в определенном интеграле