Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Пример 4.2.1. Вычислить, если это возможно, .

Решение. Подынтегральная функция неограниченна в окрестностях точки , так как  при .

Подынтегральная функция непрерывна всюду на отрезке , , следовательно, существует определенный интеграл.

Вычислим его:

.

Рассмотрим предел этого интеграла при .

.

Следовательно, несобственный интеграл от неограниченной функции сходится по определению и .

Пример 4.2.2. Вычислить, если это возможно, .

Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке , являющейся внутренней точкой отрезка интегрирования. Поэтому подставим интеграл в виде суммы двух интегралов:

.

Несобственный интеграл  имеет особенность на верхнем пределе, а  - на нижнем пределе. Если  и  сходятся, то сходится задний предел.

По определению несобственного интеграла особой точкой внутри промежутка интегрирования имеем:

.

Пример 4.2.3. Исследовать сходимость интеграла  в зависимости от параметра .

Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке , если . При подынтегральная функция непрерывна всюду на отрезке , и интеграл является определенным интегралом в собственном смысле.

Рассмотрим случай и вычислим .

Если , то  и , т.е. конечен, а следовательно, интеграл сходится по определению. Если ,

и 

в этом случае интеграл  расходится.

Если , то , и интеграл также расходится.

Следовательно, интеграл сходится при  и расходится при .

Замена переменной в определенном интеграле