Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Вычисление интегралов с бесконечными пределами от непрерывных функций.

Рассмотрим функцию , определенную в промежутке  и интегрируемую на любой его конечной части , т.е имеет смысл при любом .

Определение. Несобственным интегралом функции  в промежутке от  до , называется конечный или бесконечный предел интеграла при . Этот предел обозначают символом:

  (4.1.1)

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.

Если предел бесконечен или не существует, то про интеграл говорят, что он расходится.

Аналогично определяется интеграл на промежутке :

.  (4.1.2)

Интеграл на всей числовой оси (от  до +)определяется в виде суммы интегралов на полу-бесконечных промежутках:

. (4.1.3)

Если функция  определена и непрерывна на промежутке , кроме того, для функции в этом промежутке существует первообразная в классе элементарных функций, то по формуле Ньютона - Лейбница:

.  (4.1.4)

Очевидно что интеграл сходится, если существует и конечен:

  (4.1.5)

Пример 4.1.1. Вычислить, если это возможно, несобственный интеграл: .

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме того, имеет первообразную . Тогда по определению имеем:

Пример 4.1.2. Сходится ли несобственный интеграл ?

Решение. Используя определение несобственного интеграла на неограниченном промежутке, вычислим:

Предел бесконечен, поэтому данный интеграл расходится.

Пример 4.1.3. При каких значениях сходится интеграл: .

Решение. Пусть , тогда:

При имеем: .

Следовательно интеграл сходится при  и расходится при .

Пример 4.1.4. Установить сходимость интеграла .

Решение. Используя определение несобственного интеграла, вычислим предел.

.

Предел конечен, следовательно интеграл  сходится.

Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.

Рассмотрим функцию , заданную в конечном промежутке , но неопределенную в этом промежутке.

Предположим, что функция имеет бесконечный разрыв в точке  и непрерывна всюду при .

Определение. Несобственным интегралом от неограниченной функции на промежутке от до  называют конечный или бесконечный предел интеграла   при  .

Этот предел обозначают так: 

.  (4.2.1)

Если этот предел существует и конечен, то интеграл называют сходящимся. В противном случае расходится.

Если особая точка  функции является внутренней точкой отрезка , то по определению полагают:

.  (4.2.2)

В этом случае несобственный интеграл называют сходящимся, если существуют и конечны оба предела в правой части равенства.

Замена переменной в определенном интеграле