Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Пример 3.2.2. Вычислить длину астроиды , .

Решение. Кривая астроиды состоит из четырех дуг равной длины (см.рис.3.5).

Вычислим длину дуги, расположенной в первой четверти и соответствующей изменению параметра  от 0 до .

Найдем предварительно  и  

,  и составим интеграл длины дуги, заданной параметрически, используя формулу (3.2.2)

.

Пример 3.2.3. Найти длину дуги кривой .

Решение. Так как полярный радиус  по смыслу должен быть неотрицательный, то пределы изменения угла  определяются неравенством . Тогда . При изменении  от 0 до длина радиуса  возрастает от 0 до . При изменении  от до  величина убывает от  до 0. Радиус вектор  описывает замкнутую кривую, представляющую окружность радиуса  с центром в точке (рис.3.7).

 Вычислим длину этой кривой, используя

формулу (3.2.3) .

Вычисление объемов тел.

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, может быть выражена как функция  в виде , то объем части тела , заключенной между перпендикулярами к оси ОХ плоскостями и , равен:

(3.3.1)

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой  и прямыми ,  и , вращается вокруг оси ОХ (рис.3.8), то объем тела вращения вычисляется по формуле (3.3.2):

. (3.3.2)

Пример 3.3.1. Вычислить объем тела, ограниченного двумя круговыми цилиндрами радиуса , оси которых пересекаются под прямым углом.

Решение. Направим ось ОХ через точку 0 пересечение осей цилиндров перпендикулярно обеим осям.

Рассмотрим ту часть заданного тела, которая находится в первом октанте (рис. 3.9). Тело OABCD, изображенное на рис. 3.9, составляет восьмую часть заданного тела. На расстоянии  от начала координат рассечем тело плоскостью, перпендикулярной оси ОХ. Сечение KLMN представляет собой квадрат со стороной KM, где , та как OM=r – радиус цилиндра. Очевидно, что площадь сечения равна:

Тогда объем заданного тела вычисляется по формуле 3.3.1):

Пример 3.3.2. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболой   и прямой

Решение. Тело образовано вращением фигуры ABC (рис. 3.10) вокруг оси ОХ. Объем этого тела может быть рассмотрен как разность объемов, полученных в результате вращения площадей ACBO и ABO вокруг оси ОХ.

Из уравнения параболы получим уравнение верхней ветви CB и нижней ветви BA, а именно уравнения кривой CB имеет вид: , уравнение кривой ВА имеет вид: .

Абсциссы точек фигуры изменяются на отрезке . Следовательно, искомый объем вычисляется по формуле (3.3.2):

.

Замена переменной в определенном интеграле