Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Пример 3.1.3. Вычислить площадь области, ограниченной кривой: .

Решение. Исследуем вопрос, при каких значениях угла  в интервале от 0 до  существуют точки на границе указанной области. Правая часть уравнения  должна быть неотрицательной. Следовательно, при значениях , для которых , мы получаем все множество граничных точек области.

Решая неравенство , находим интервалы изменения угла :

; ; ; .

Граница области представляет замкнутую самопересекающуюся кривую, состоящую из 4 лепестков (рис. 3.6), а сама область складывается из 4 равновеликих фигур. Составим интеграл площади фигуры, ограниченной лепестком, для которого угол изменяется в пределах от  до . По формуле (3.1.4) получим

.

Тогда:  .

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой  и параболой .

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом:  , .

Найти площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда , .

Ответы.

1.   2.  3.

3.2 Вычисление длины дуги плоской кривой .

Если плоская кривая задана уравнением на отрезке  и функция непрерывно дифференцируема на отрезке , то длина соответствующей дуги этой кривой равна:

 (3.2.1)

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то длина дуги кривой, соответствующей монотонному изменению параметра t от до , выражается интегралом:

  (3.2.2)

Здесь также предполагается, что  и непрерывно дифференцируемы на отрезке .

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , то длина дуги, соответствующей изменению угла  от  до , равна:

  (3.2.3)

Пример 3.2.1. Вычислить длину дуги кривой от  до .

Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем . Используя формулу (3.2.1), получим:

.

Приват записи на сайте www.sexwebgirls.com.
Замена переменной в определенном интеграле