Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

На основании геометрического смысла определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми  и  и отрезком  оси OX (рис. 3.1), вычисляется по формуле:

. (3.1.1)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и   для  и прямыми ,  (рис. 3.2), вычисляется по формуле:

  (3.1.2)

  

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , так что , а , то площадь фигуры, ограниченной этой кривой и прямыми , , , вычислить по формуле:

  (3.1.3)

Если область ограничена кривой, заданной в полярных координатах уравнением , и двумя полярными лучами  и  (рис. 3.3), то ее площадь выражается интегралом

 (3.1.4)

Пример 3.1.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой   и прямой .

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой, решив систему уравнений.

.

Как видно из рис. 3.4, заданная фигура ограничена снизу параболой , сверху прямой  и проектируется на ось ОХ в отрезок . Следовательно, искомая площадь вычисляется по формуле (3.1.2):

.

   

Пример 3.1.2. вычислить площадь области, ограниченной астроидой:

, .

Решение. Граница области, заданная параметрическими уравнениями , , представляет замкнутую кривую (рис. 3.5). при движении вдоль этой кривой параметр t изменяется от 0 до . Заданная фигура состоит из четырех равновеликих частей. Составим интеграл площади той фигуры, которая находится в первой четверти, что соответствует изменению абсцисс точек области от 0 до .

Пределы изменения параметра t определяется из уравнений:

    

Тогда, по формуле (3.1.3) имеем

, .

Замена переменной в определенном интеграле