Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Замена переменной в определенном интеграле.

При вычислении определенных интегралов в некоторых случаях используется прием замены переменной или подстановки.

Пусть   -непрерывная функция на отрезке . Сделаем замену переменной, положив , где - непрерывно дифференцируемая функция на отрезке  и , . Отметим тот факт, что при изменении новой переменной от  до  значения старой переменной  пробегают весь отрезок .

При сделанных предложениях имеет место формула:

  (2.3.1)

Часто вместо подстановки  применяют обратную подстановку .

При вычислении определенных интегралов иногда оказываются полезными следующие свойства.

Если - нечетная функция, т.е. ,

то

Если - четная функция, т.е. ,

то .

Пример 2.3.1. вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку , тогда , и подынтегральное выражение примет вид:

Пределы интегрирования по t находим из уравнений:

.

Можно принять , , тогда .

А можно взять  и , тогда .

В обоих случаях переменная  пробегает весь отрезок .

Возьмем   и , т.е. переменная t изменяется на отрезке . Тогда:

.

Пример 2.3.2. Вычислить интеграл , используя правило замены переменной.

Решение. Применим подстановку . Найдем новые пределы интегрирования: при  , а при  . Следовательно, при изменении  на отрезке  новая переменная  изменится на отрезке . Функция , непрерывно дифференцируемая на отрезке  и применение подстановки обоснованно. Итак, ,  и интеграл примет вид

.

Пример 2.3.3. Можно ли в интеграле  сделать подстановку  ?

Решение. Замена  неприменима к данному интегралу, так как при любом допустимом значении  величина   и выходит за пределы отрезка интегрирования .

Пример 2.3.4. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция  является нечетной функцией . действительно,

Следовательно , .

Замена переменной в определенном интеграле