Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Определенный интеграл

Вычисление определенных интегралов с помощью первообразных.

Вычисление интегралов как пределов интегральных сумм на практике применяется крайне редко. Для нахождения интегралов используется, когда это возможно, формула Ньютона-Лейбница:

,  (2.2.1)

где F (x) – какая либо из первообразных функций для f(x).

Применение этой формулы возможно, если подынтегральная функция f(x) имеет первообразную в классе элементарных функций, иными словами, если можно вычислить неопределенный интеграл

 (2.2.2)

Вычисляя интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница ,следует также обратить внимание на условия законности ее применения, а именно: подынтегральная функция   и ее преобразованная должны быть непрерывны всюду на отрезке .

Пример 2.2.1. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить

.

Решение. Найдем первообразную для функции . Пусть , тогда

Возьмем F(x) = , тогда

  .

Пример 2.2.2. Вычислить

Решение. Найдем какую-либо из первообразных функций 

, где ,

Так как на отрезке интегрирования [1, 2]. ,

то

и

Пример 2.2.3. Можно ли применить формулу Ньютона – Лейбница к интегралу

Решение. Подынтегральная функция  имеет разрыв второго рода в точке , принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, формула Ньютона – Лейбница к данному интегралу неприменима.

Задачи для самостоятельного решения.

Применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить:

1.  . 3. .

  2. . 4.

Ответы.

1. 1-cos1 2.  3. 2 4. 

Замена переменной в определенном интеграле