Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида , где R – рациональная функция своих аргументов .

Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных алгебраических функций с помощью подстановки  называемой универсальной тригонометрической подстановкой.

Действительно, так как

  то

Пример 1.6.1. Найти интеграл

Решение. Применяя универсальную подстановку  получим

Пример 1.6.2. Найти интеграл

Решение. Полагая , получим

Универсальная подстановка  на практике часто приводит к сложным и трудоемким выкладкам. Поэтому наряду с универсальной подстановкой полезно знать и другие подстановки.

Рассмотрим следующие случаи:

если функция  нечетная относительно синуса, т.е. , то применима подстановка ;

если функция  нечетная относительно косинуса, т.е. , то применима подстановка ;

если функция  четная относительно синуса и косинуса, т.е. , то применима подстановка .

Пример 1.6.3. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция нечетная относительно косинуса. Поэтому, представляя  в виде  и делая замену , получим

Пример 1.6.4. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция нечетная относительно синуса, поэтому применим подстановку . Тогда

Следовательно,

Пример 1.6.5. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция четная относительно синуса и косинуса, поэтому применим подстановку . Тогда

Следовательно,

  Интегралы вида

 Для нахождения интегралов указанного вида применяются тригонометрические формулы:

Пример 1.6.6. Найти интеграл .

Решение. Преобразуя произведение двух сомножителей по приведенным формулам, получим

Следовательно,

.

  Интегралы вида , где m, n – целые неотрицательные числа

Для нахождения интегралов указанного вида необходимо преобразовать подынтегральную функцию с помощью тригонометрических формул:

Пример 1.6.7. Найти интеграл

Решение. Применяя формулу

, получим

.

Пример 1.6.8. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

Так как , то окончательно получим

Порно комиксы онлайн смотрите на www.comics-portal.com.
Замена переменной в определенном интеграле