Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегралы вида

Такие интегралы в результате выделения полного квадрата из квадратного трехчлена   и линейной подстановки приводятся к табличным интегралам 13 или 14.

Пример 1.5.1. Найти интеграл

Решение. Выделяя полный квадрат, получим

С помощью замены переменной  и  данный интеграл приводится к табличному

Пример 1.5.2. Найти интеграл

Решение. Имеем

Сделаем замену переменной

Тогда

Интегралы вида

Такие интегралы в результате выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и дальнейшей линейной подстановки приводятся к интегралам вида

Интеграл  можно представить в виде суммы двух табличных интегралов.

Пример 1.5.3. Найти интеграл

Решение. Выделяя полный квадрат в подкоренном выражении, получим

Сделаем замену переменной

Тогда

Рассмотрим

Сделаем замену , тогда

Следовательно,

Окончательно получим

Интегралы вида

Интегралы данного вида с помощью подстановки  приводятся к интегралам, рассмотренным выше.

Пример 1.5.4. Найти интеграл

Решение. Полагаем , тогда. Следовательно,

  Интегралы вида , где R – рациональная функция своих аргументов; m, n, …, r, s – целые числа.

С помощью подстановки , где k – наименьшее общее кратное чисел n, …, s, указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции аргумента t.

Пример 1.5.5. Найти интеграл

Решение. В данном примере x входит в подынтегральную функцию с дробными показателями   и . Поэтому сделаем подстановку , откуда .

Следовательно,

 Так как подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, поэтому выделим ее целую часть делением числителя на знаменатель.

Следовательно,

Возвращаясь к переменной x, имеем .

Поэтому

  Интегралы вида , где R – рациональная функция; m, n, …, r, s – целые числа.

 С помощью подстановки , где k – наименьшее общее кратное чисел n, …, s, данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции аргумента t.

Пример 1.5.6. Найти интеграл

Решение. Сделаем замену . Тогда  и .

Следовательно,

Замена переменной в определенном интеграле