Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Пример 1.4.2. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Разложим знаменатель на множители:  В этом случае подынтегральная дробь раскладывается на простейшие следующим образом:

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получим следующую систему уравнений:

Решая ее, найдем

Следовательно, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид:

Окончательно имеем

Пример 1.4.3. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, поэтому выделим целую часть делением числителя на знаменатель. В результате имеем:

Полученную справа правильную дробь разложим на простейшие дроби:

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получим следующую систему уравнений:

Решая эту систему, находим

Следовательно,

Имеем

Пример 1.4.4. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь, знаменатель которой разложен на множители.

Представим дробь в виде суммы простейших дробей.

Приводя правую часть полученного равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

 или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получим следующую систему уравнений:

Решая эту систему, находим

Следовательно,

Таким образом,

Замена переменной в определенном интеграле