Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, и неправильной, если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе.

Например, дроби  – неправильные, а дроби  – правильные.

Если рациональная дробь является неправильной, то, разделив по правилу деления многочленов многочлен P(x) на многочлен Q(x), можно всегда выделить целую часть (т.е. многочлен) и представить такую дробь в виде:

 где  - многочлен и  – правильная рациональная дробь.

Например,

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.

Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех типов:

  (k>1– натуральное число)

  где дискриминант квадратного трехчлена , т.е.  не имеет действительных корней.

  (k>1 – натуральное число, , где A, B, a, p, q – действительные числа

Таким образом, для интегрирования правильных рациональных дробей достаточно уметь:

интегрировать простейшие дроби;

разлагать правильные рациональные дроби на простейшие.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов.

В знаменателе подынтегральной функции выделим полный квадрат:

Введем обозначение  и применим замену переменной, полагая . Отсюда

Следовательно,

Заменяя t и a их выражениями, получим

Пример 1.4.1. Найти

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат

Сделаем подстановку  Тогда

Теперь выясним, каким образом любая правильная дробь может быть разложена на простейшие дроби. В этом разложении существенное значение имеет разложение знаменателя дроби Q(x) на произведение линейных и квадратичных множителей с отрицательным дискриминантом. Рассмотрим некоторые случаи.

Знаменатель разлагается на неповторяющиеся множители первой степени . В этом случае дробь  разлагается на сумму простейших дробей I типа.

  где A, B, …, M – неопределенные (неизвестные) коэффициенты. Например,

Знаменатель разлагается на множители первой степени, среди которых есть повторяющиеся.

Например,

В этом случае дробь  разлагается на сумму простейших дробей I и II типов.

  где A, B1, B2, …, Bn, C – неопределенные (неизвестные) коэффициенты. Например,

Знаменатель разлагается на неповторяющиеся множители второй степени с отрицательным дискриминантом, возможно, множители первой степени.

Например,

В этом случае дробь  разлагается на сумму простейших дробей 1, 2, 3 типов.

, где A, B, C, D, E – неопределенные коэффициенты.

Для нахождения неопределенных коэффициентов необходимо все простейшие дроби привести к общему знаменателю и числитель дроби (полученный от сложения простейших дробей) приравнять к числителю . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества, получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов.

Замена переменной в определенном интеграле