Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

где U=U(x), V=V(x) – дифференцируемые функции.

Применение способа интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части формулы (1.3.1) окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл. Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение следует разбить на два сомножителя. Один из них обозначается через U, а остальная часть относится ко второму сомножителю и обозначается через dV. При нахождении интегрированием функции V для нее получается бесконечное множество первообразных. Чтобы применить формулу (1.3.1), можно взять любую из них, в частности ту, которая соответствует произвольной постоянной, равной 0.

Пример 1.3.1. Найти интеграл

Решение. Подынтегральное выражение разбиваем на два сомножителя следующим образом:

Тогда .

Подставляя найденные выражения в формулу (1.3.1), получим

Пример 1.3.2. Найти интеграл

Решение. Полагая  найдем .

По формуле (1.3.1) имеем

Пример 1.3.3. Найти интеграл

Решение. Полагая , найдем

.

По формуле (1.3.1) имеем

Пример 1.3.4. Найти интеграл

Решение. Полагая , найдем .

Следовательно,

Найдем

Для этого сделаем замену . Тогда , т.е. . Следовательно,

и

В некоторых случаях метод интегрирования по частям приходится применять несколько раз.

Пример 1.3.5. Найти интеграл

Решение. Полагая , найдем

Следовательно,

К последнему интегралу еще раз применим формулу интегрирования по частям.

Полагая , найдем .

Следовательно,

Подставляя полученное выражение в соотношение (1.3.2), приходим к уравнению с неизвестным интегралом

Перенося искомый интеграл в левую часть, получим

и

Замена переменной в определенном интеграле