Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Интегрирование методом замены переменной

Пример 1.1.3. Найти

Решение. Используя свойства 4 и 5 и, применяя формулы 7, 2, 10, 1, получим

Пример 1.1.4. Найти

Решение. Используя тригонометрическую формулу

, свойство 5 и применяя формулы 8, 1, получим

Пример 1.1.5. Найти

Решение. Произведя почленное деление и применяя свойства 4, 5 и формулы 11, 14, получим

Пример 1.1.6. Найти

Решение. Произведя почленное деление и применяя свойство 5 и формулу 4, получим

Замечание. При вычислении отдельных интегралов нет надобности писать после каждого слагаемого произвольную постоянную, так как сумма произвольных постоянных есть также произвольная постоянная.

Во многих случаях удается введением новой переменной t вместо переменной интегрирования x свести данный интеграл  к новому интегралу, который или содержится в таблице основных интегралов, или легко вычисляется другим способом. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

Введем вместо х новую переменную t, связанную с х соотношением , где  – непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную проиводную , тогда справедлива формула

Формула (1.2.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. При замене переменной весьма часто бывает выгоднее задавать не х как функцию t, а наоборот, задавать t как функцию х в виде .

Пример 1.2.1. Найти интеграл

Решение. Полагая =t, имеем

Тогда по формуле (1.2.1)

.

Возвращаясь к переменной х, окончательно получим

.

Пример 1.2.2. Найти интеграл

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим . Отсюда  и

Пример 1.2.3. Найти интеграл

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим . Тогда .

Следовательно,

.

Пример 1.2.4. Найти интеграл

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим .

Следовательно,

Пример 1.2.5. Найти интеграл .

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим . Тогда .

Следовательно, .

Пример 1.2.6. Найти интеграл .

Решение. Замечая, что , введем замену: . Дифференцируя последнее равенство, найдем, что .

Следовательно,

.

С помощью метода замены переменной можно показать, что если F(x) – первообразная для функции f(x), то

Эти правила часто применяются для нахождения неопределенных интегралов.

Например,

.

Замена переменной в определенном интеграле