Примеры выполнения контрольной работы по математике Интегрирование методом замены переменной Интегрирование по частям Пример Найти интеграл Вычисление определенных интегралов Функция нескольких переменных
Производная по направлению Функции комплексной переменной Вычисление двойного интеграла Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Векторная функция скалярного аргумента Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами   (1)

и соответствующее ему однородное , (2)

где   и  – постоянные коэффициенты.

Найдем общее решение уравнения (2).

Будем искать решение уравнения (2) в форме .

Тогда .

Подставляя это в уравнение (2), получим: .

Но так как , то  (3)

Это уравнение по отношению к уравнению (2), называется характеристическим.

Если функция  есть решение уравнения (2), то  должно быть корнем характеристического уравнения (3).

Рассмотрим три возможные случая:

корни уравнения (3) вещественны и различны

корни вещественны и равны

корни комплексные сопряженные

1 случай.  и действительны.

В этом случае функции  и  будут решениями уравнения (2). Так как их отношение , то эти решения линейно независимы и, следовательно, они составляют фундаментальную систему. А поэтому общее решение уравнения (2) в этом случае будет

  (4)

Пример.

Характеристическое уравнение будет .

Его корни . Общее решение будет .

2 случай. Корни равны .

В этом случае имеем пока только одно решение . Покажем, что вторым решением будет . Действительно,

Подставим это в левую часть уравнения (2), тогда получим

,

так как   есть корень уравнения (3), и потому, что . А это значит, что  есть решение (2), что и требовалось доказать.

Итак, мы имеем два решения  и . Они линейно независимы, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Поэтому общий интеграл будет .

 

Пример.

Характеристическое уравнение . Корни .

Общее решение .

3 случай. Корни комплексные сопряженные

Следовательно, имеем два комплексных линейно независимых решения .

Общее решение будет .

Ясно, что иметь вещественное общее решение надо считать  и  комплексными числами. Выразим  и  по формулам Эйлера, тогда

Положим здесь . Тогда .

Поэтому .

Таким образом, в случае комплексных сопряженных корней характеристического уравнения, уравнение (2) имеет два линейно независимых вещественных решения .

Общее решение .

Пример.

 

Общее решение .

Замена переменной в определенном интеграле