Примеры решения задач типового расчета

Машиностроительное черчение
Выполнение сечений
Правила выполнения технических чертежей
Виды аксонометpических пpоекций
Эскиз детали
Нанесение размеров на чертежах
Чтение сборочных чертежей
Основные способы проецирования
Сопротивление материалов
Сопромат задачи
Сопротивление материалов примеры
Кинематика примеры решения задач
Статика примеры решения задач
Физика, электротехника
Электротехника
Электромагнетизм
Расчет режимов трехфазных цепей
Расчет электрических цепей постоянного и переменного тока
Методы расчета электрических цепей
Примеры  решения типовых задач по электротехнике
Физика оптика Курс лекций
Примеры решения задач по классической физике
Примеры решения задач контрольной работы по физике
Физика решение задач
Молекулярная физика и термодинамика
Курс лекций по атомной физике
Ядерная модель атома
Квантовая механика
Рентгеновские спектры
Первый газовый лазер
Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории.
Полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы)
Радиоактивное излучение и его виды
Ядерные реакция

Понятие о ядерной энергетике

Информатика
Лекции Java
Язык JavaScript
Интернет
Язык PHP
Архитектура ПК
Высшая математика
Вычисление интегралов и рядов
Примеры вычисления интеграла
Примеры выполнения контрольной работы по математике
комплексные числа
Последовательности
Предел функции
Непрерывные функции
Дифференциальное исчисление
Формула Тейлора
Определенныеинтегралы
Двойной интеграл
Тройные интеграл
Криволинейные интегралы
Элементы теории поля
Интегралы от параметра
Элементы тензорного
исчисления
Примеры решения задач
Теория множеств
Построения графика функции
Элементарная математика
Интегралы
Кратные интегралы
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Интегральное исчисление
Дифферинциальные урав.
Элементарная математика
Математический анализ
Мат. анализа часть 3
Комплексные числа
 

 

Изменить порядок интегрирования

Повторный интеграл

Изменить порядок интегрирования

Изменить порядок интегрирования.

Вычислить.  

Вычислить  

Вычислить:  

вычислить:

Вычислить.  ; x=0; y=0; z=0;

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х.

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: у2-4у+х2=0; у2-8у+х2=0; ;

Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.

Пластинка D заданна ограничивающими ее кривыми, m - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями:

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его плоскостями: х2+у2=5у; х2+у2=8у;

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями: х2+у2+2х=0; z=25/4 –y2; z=0.

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Задачи на нахождение работы и давления

1. Найти давление на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен , а верхний диаметр лежит на свободной поверхности воды.

 


Давление жидкости на дно сосуда равно весу вертикального столба жидкости с основанием в 1 см2 , находящегося над дном. Объем столба, имеющего в основании единицу площади, а высоту , равен . Поэтому давление на глубине  будет , где  — вес кубической единицы этой жидкости.

Чтобы вычислить давление на вертикальную поверхность, нужно знать, что в каждой точке давление во все стороны одинаково. Давление на полосу AB приблизительно равно , где   — площадь этой полоски. Тогда искомое давление

, т.к. , а , то

.

 

Сжатие винтовой пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, производимую при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужно приложить силу в 1 кг.

Решение. Обозначим через x сжатие пружины. Тогда, согласно закону Гука, , где k — постоянная, характеризующая материал пружины. Для данного случая 0,01k=1, л=100, F=100x. F —в кг, а x — в метрах.

3. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать жидкость из котла, имеющего форму параболоида вращения с радиусом основания R, глубиной H. Он заполнен жидкостью, удельный вес которой d.

Подпись:                            R

                x
                         a            H

Разобьем объем котла плоскостями, параллельными основанию и находящимися друг от друга на расстоянии . Вычислим объем элементарного цилиндра .

Вес жидкости в этом объеме будет равен . Элементарная работа , затраченная для поднятия этой массы, находящейся на глубине x м, равна:

, ,

, .

.

Дифференциальные уравнения

Общие понятия

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка называется соотношение вида:  (1),

где – независимая переменная; – искомая функция переменной;

– производные искомой функции; – известная функция своих аргументов.

Считается, что производная  на самом деле входит в выражение (1), а величины  могут и не входить в него.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения, n, называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Пример.

– уравнение первого порядка;

– уравнение второго порядка;

– уравнение пятого порядка.

Определение 3. Всякая функция , которая, будучи подставленная вместо y в выражение (1), обращает это выражение в тождество, называется решением дифференциального уравнения (1).

Если – решение, то по определению

  (2)

Пример.

– решение, так как

У рассматриваемого уравнения есть еще такое решение: 

где С – произвольная постоянная.

Это значит, что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра (С).

Можно показать, что уравнение n–ого порядка имеет семейство решений, зависящих от произвольных независимых друг от друга постоянных.

Пример.

Уравнение  имеет решение:

.

Определение 4. Процесс разыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Определение 5. Решение дифференциального уравнения (1), содержащее n независимых между собой произвольных постоянных, называется его общим решением.

,  (3)

Замечание. Дифференциальное уравнение может иметь не одно, а несколько общих решений. Например, для уравнения  функции  и  являются общими решениями, причем разными, так как первая из них обращается в нуль (С=0), а вторая – никогда в нуль не обращается.

Определение 6. Соотношение , (4)

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и n произвольных постоянных, называется общим интегралом уравнения (1). Следовательно, в общем интеграле решение задано в неявном виде.

 

Пример.

Рассмотрим уравнение: . Отсюда  или . Поэтому , где С – произвольная постоянная.

– общий интеграл; – общее решение.

Определение 7. Решение, полученное из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример. Уравнение . Его общее решение . Положим С=2, тогда – частное решение.

Определение 8. Особым решением по отношению к данному общему решению называется такое решение, которое не может быть получено ни при каких значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение.

 

 

Пример. Уравнение  имеет два общих решения:

1)   2)

Решение:   есть частное по отношению к первому и особое по отношению ко второму общему решению.

Определение 9. График частного решения называется интегральной кривой рассматриваемого дифференциального уравнения. Уравнение этой линии есть уравнение (3) и (4) при фиксированных .

Таким образом, общее решение (или общий интеграл) определяет семейство интегральных кривых, каждая из которых соответствует определенному набору значений  произвольных постоянных.


Пример. . Общее решение .

 

 

Дифференциальные уравнения I порядка

Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производную:  (1)

Обычно мы будем иметь дело с уравнениями, которые можно разрешить относительно производной   (2)

Если в (2) положить , то уравнение (2) можно записать в симметричной форме:  (3)

Здесь переменные x и y равноправны.

Иногда бывает выгодно рассматривать х как функцию y. В этом случае часто применяют форму записи (3).

Пример.

Задача Коши.


Пусть   будет общим решением уравнения (2). Это общее решение определяет семейство интегральных кривых. Для того чтобы из этого семейства выделить какое-либо частное решение, необходимо задать еще дополнительные условия, в частности, частное решение можно выделить путем задания на плоскости точки , через которую проходит интересующая нас интегральная кривая. Следовательно, возникает задача отыскания такого решения уравнения , которое при заданном  принимает заданное значение .

Это записывают так:  (4)

Такая задача называется задачей Коши.

Условие  называется начальным условием. Начальные условия необходимы для определения соответствующего значения произвольной постоянной С. Покажем на примере как вычисляется С.

Пусть требуется среди решений уравнения (5)

найти такое, которое при  обращается в нуль, т.е. . (6)

Общим решением служит функция  (7)

Так как требуется, чтобы выполнялось (6), то должно быть , а это возможно только при . Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условию (6), получается из общего решения при , т.е. . Это и есть решение задачи Коши.

 

 

Основное свойство общего решения:

Общее решение  дифференциального уравнения  обладает тем свойством, что из него по любому заданному допустимому начальному условию  может быть найдено частное решение, удовлетворяющее этому условию. Это означает, что подставив в общее решение  вместо  и  вместо , получаем уравнение относительно С: , из которого всегда может быть найдено значение  и притом единственное. Функция  служит искомым частным решением.

Замечания:

Сформулированное основное свойство общего решения справедливо при определенных требованиях, наложенных на функцию . Эти требования даются теоремой существования и единственности.

Допустимыми начальными условиями  называются такие условия, когда точка , где D – область определения функции .

Пусть   будет общим решением некоторого дифференциального уравнения.

Поставим вопрос: можно ли по известному общему решению «восстановить» то дифференциальное уравнение, для которого данное решение является общим?

На этот вопрос отвечает теорема:

Теорема. Для того, чтобы по известному общему решению  восстановить дифференциальное уравнение, нужно исключить С из равенств: 

Полученное соотношение  и есть то дифференциальное уравнение, для которого   служит общим решением. Эту теорему примем без доказательств.

 

 

Пример. Пусть дана функция , где С – произвольная постоянная. Требуется определить то дифференциальное уравнение, для которого она служит общим решением.

Решение. Используем теорему  

Искомым дифференциальным уравнением будет .

Может случиться, что в равенстве  исчезнет произвольное постоянное. Это значит, что это равенство и дает искомое дифференциальное уравнение.

Например, пусть дано общее решение . Дифференцируем -. Исчезло С. Следовательно, функция  служит общим решением уравнения .

Если вместо общего решения задан общий интеграл, то уравнение восстанавливается аналогично.

Именно, надо исключить С из системы: .

Перейдем к рассмотрению отдельных видов дифференциальных уравнений первого порядка.

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач