Интегралы, зависящие от параметра

 

Собственные интегралы, зависящие от параметра

Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема

Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Теорема

Непрерывность интеграла от параметра

Некоторые свойства функций Эйлера

Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Интеграл Пуассона

Представить интегралом Фурье заданную на всей оси функцию

 
 

 

 2

 -2 2 t

 Рис. 13

График функции представлен на рис. 13.

Решение. Условия представимости данной функции интегралом Фурье выполняются. Эта функция – четная, поэтому воспользуемся формулой (21):

.

В частности, полагая , найдем .

 

 

 

Представить интегралом Фурье функцию 

 
 

 

  - целое число.

 Рис. 14

График функции представлен на рис. 14.

Решение. Функция  непрерывна на всей числовой оси и абсолютно интегрируема, поскольку

.

Следовательно, возможно представление этой функции интегралом Фурье. Согласно формуле (18)

.

  Используя равенство

,

интегрируя и производя несложные преобразования, получим

.

 

 

Представить интегралом Фурье функцию, продолжив ее на всю числовую ось: а) четным, б) нечетным образом. 

 
 


 

 

 

 0 p/2  t 

 Рис. 15

 График функции представлен на рис. 15.

 Решение. Функции, получаемые продолжением  на  четным и нечетным образом, удовлетворяют условиям теоремы. Для четного продолжения воспользуемся формулой (21)

.

Вычислим отдельно внутренний интеграл:

.

Следовательно, при четном продолжении

.

Если  продолжена нечетным образом, то следует применить формулу (22). Получим

.

Производя аналогичные вычисления, придем к следующему представлению функции :

.

Таким образом, для

.

 

 

Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функции

.

Решение.

, следовательно, используя формулу для вычисления циклического интервала, получим

 .

Аналогично

  .

Если теперь к полученным функциям применить обратные косинус- и синус-преобразования Фурье, то найдем

и

Применяя косинус- и синус-преобразования Фурье, можно получить таблицу значений несобственных интегралов, зависящих от параметра. Однако основное назначение косинус- и синус-преобразований Фурье состоит в применениях к решению задач математической физики.

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач