Элементы теории поля

 

 

Введение

Поток векторного поля

Формула Остроградского Гаусса

Теорема

Дифференциальные операторы 1-го порядка

примеры

Дифференциальные операторы 2-го порядка

Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

Преобразования базисов и координат

Преобразование координат

Выражение операций теории поля в криволинейных координатах

Выражение градиента в криволинейных координатах

Выражение ротора в криволинейных координатах

Выражение операций теории поля в цилиндрических координатах

Выражение градиента в цилиндрических координатах

Выражение ротора в цилиндрических координатах

Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах

Выражение градиента в сферических координатах

Выражение ротора в сферических координатах

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением .

Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье. По формуле (16)

.

По формулам Эйлера

.

Следовательно, ,

.

В интервале  ряд представляет функцию , а в точках  его сумма равна .

Заметим, что полученный ряд в комплексной форме можно преобразовать к обычной тригонометрической форме ряда Фурье, для этого следует объединить слагаемые с индексами  и  и заменить в результате по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими:

 

при .

Следовательно,

.

 

 

 

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

 
Представить интегралом Фурье функцию

  

 1

 1/2

 

 

 -1 0 3 t

 Рис. 12

 График функции представлен на рис. 12.

  Решение. Данная функция на любом конечном промежутке числовой оси   удовлетворяет условиям Дирихле. Очевидно, что  является абсолютно интегрируемой функцией на всей числовой оси, так как

.

Следовательно, данная функция может быть представлена интегралом Фурье; по формуле (17) имеем

 

 

  

 

В точках разрыва , т.е. при  и , полученное представление сохраняется, т. к. в этих точках .

В частности, при  имеем , отсюда легко находим значение интеграла: .

Таким образом, в результате решения основной задачи – представления заданной функции интегралом Фурье – мы смогли вычислить интеграл от функции, первообразная которой через элементарные функции не выражается. И еще одна характерная особенность. Как видно из данного примера, интеграл Фурье может представлять функцию, которая на разных промежутках числовой оси задается разными аналитическими выражениями.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач