Тройные и n-кратные интегралы

Стандартная ортогональная аксонометрия http://matses.ru/

 

 

Определение тройного и n-кратного интеграла

Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда

Сведение тройного интеграла к повторному для областей общего вида

Замена переменных в тройном интеграле

Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве

Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пример Цилиндрические координаты

Пример 2. Сферические координаты

Замена переменных в общем случае

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченн кривой у = f(х) ≥ 0 и прямыми у = 0, х = а, х = b) (рис 17).

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна ( = const). Тогда масса всей пластинки равна  т. е. . Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

Тогда масса его равна . Центр тяжести  прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка  отстоит от оси Ох на Ѕy, а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии х+ ½Δx ). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения

 и

Следовательно,

По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(x;y), что  .

Отсюда

  и

или

x,.

 

 

 

 

Пример. Найдем координаты центра тяжести полукруга  ( = const) (рис 18).

[5]

Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Oy), что . Площадь полукруга равна . Находим Sx:

Стало быть,

Итак, центр тяжести имеет координаты С(0;)

 

 

Интегральное исчисление в биологии

Численность популяции.

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия су­ществования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в едини­цу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В “старых”, уста­новившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными по­пуляциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмеша­тельство человека, то v (t) может значительно колебаться, умень­шаясь или увеличиваясь.[1]

Если известна скорость роста популяции v t/), то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v(t) следует, что эта функ­ция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообраз­ной для v (t). Поэтому

N(t) – N(t) = .

Известно, что в условиях неограниченных ресурсов  питания

скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v(t) = ае. Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:

N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)

По формуле, подобной N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)

, подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.[1]


 

Биомасса популяции.

Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.

Пусть   означает возраст в тех или иных единицах времени, а N () — число особей популяции, возраст которых равен . Пусть, наконец, P () — средняя масса особи возраста , а М () — био­масса всех особей в возрасте от 0 до .[1]

Заметив, что произведение N() P () равно биомассе всех осо­бей возраста , рассмотрим разность

M( + Δ) – M(),

где Δ>0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех осо­бей в возрасте от  до  + Δ, удовлетворяет неравенствам:

N () Р ( ≤ M ( + Δ) – M () ≤ N()P(,

где N () Р () — наименьшее, а - N()P() — наибольшее значения функции N () Р () на отрезке [, + Δ]. Учитывая, что Δ>0, из неравенств N () Р ( ≤ M ( + Δ) – M () ≤ N()P(,

имеем:

N () Р () ≤ ≤ N()P()

Из непрерывности функции N () Р () (ее непрерывность следует из непрерывности N ()  и Р () ) следует, что

[N () Р ()] =  [N()P()] = N () Р ()

Поэтому будем иметь:

 = N () Р ()

или

  = N () Р ()

Следовательно, биомасса М () является перво­образной для N () Р (). Отсюда:

M(T) – M(0) =  N () Р ()dt

Рис 19

 
где Т — максимальный возраст особи в данной популяции. Так как М (0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем:

М(Т)=   N () Р ()dt

 

 

Средняя длина пролета.

  В некоторых исследованиях необхо­димо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. При­ведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса R. Будем считать, что R не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.

Птица может под любым углом в любой точке пересечь окруж­ность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до 2Я,. Нас интересует средняя длина пролета. Обозначим ее через.[1]

Так как круг симметричен относительно любого своего диамет­ра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые ле­тят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета — это среднее расстоя­ние между дугами АСВ и АСВ. Иными словами, это среднее зна­чение функции f(х) — f(х), где у = f(х) — уравнение верхней дуги, а у = f2(х) — уравнение нижней дуги, т. е.

L =

или 

L = .

Так как

равен площади криволинейной трапеции аАСВb), а

равен площади криволинейной трапеции аАСВb, то их разность равна площади круга, т. е. R2. Разность b — а равна, очевидно, 2R. Подставив это в L = .

, получим:

L =   = R.

Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла в биологии.[1]

 

 

Интегральное исчисление в экономике

В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемы предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией у =f(x), рассматривают ее производную f'x. Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С = С(q), то предельные издержки будут за­даваться производной этой функции МС = С'(q). Ее экономический смысл - это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функ­цию издержек по данной функции предельных издержек.[6]

Пример. Дана функция предельных издержек МС = Зq2 – 48q + 202, 1 ≤ q ≤ 20. Найти функцию издержек С = С(q) и вычис­лить издержки в случае производства 10 единиц товара, если из­вестно, что издержки для производства первой единицы товара со­ставили 50 руб.[4]

Решение. Функцию издержек находим интегрированием:

C(q ) = ,

где константа Со находится из данного условия С( 1) = 50, так что С0 = 50, поскольку интеграл обращается в нуль. Интегрируя, полу­чим функцию издержек

C(q) = q.

Подставляя q = 10 в полученную формулу, находим искомое значение

С(10) = 670.

Еще одним примером приложения определенного интеграла является нахождение дисконтированной стоимости денежного потока.

Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени t = 1, 2, 3, ... задана величина денежного потока R((t). Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R(1), R(2), R(3), ... найдем по известным формулам:

R(1)(1 + p), R(2)(1 + p), R(3)(1 + p), … .

Тогда дисконтированную стоимость денежного потока найдем, суммируя эти величины:

П = ,

где п - общее число периодов времени.

В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента времени 0 ≤ t ≤ Т, где [0, T] - рассматриваемый период времени, задана величина I(t) - скорость изменения денеж­ного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от t до t + dt приближенно равна I(t)dt. Для получения ве­личины П изменим формулу П = .А именно, знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формула П = , примет следую­щий вид:

П = .

 

 

 

Пример. Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t2 +20t +5 (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. [4]

Решение. По формуле П =  имеем

П = .

Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной:

s = -0,05t,  t = -20s, dt = -20ds.

При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены: s = 0, s = -1. Имеем

-

П = -20(- 400s2 – 400s + 5)e = 20  (- 400s2 – 400s +5)eds.

К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая и = -400s - 400s + 5, dи = (-800s - 400)ds, dv = eds, v= е. Поэтому

П = 20 ((-400s2 - 400s + 5)е + е(800s + 400)ds .

В первом слагаемом подставим пределы интегрирования, а ко вто­рому слагаемому еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая и = 800s + 400, dи = 800ds. Имеем

П = 20 (5 – 5e + (800s + 400)e800eds) =

= 20(5 - 5е - 1 +400 + (800 - 400)e - 1 - 800 + 800е - 1) =

 = 20(1195е- 1 -395).

Окончательно получим П = 892 (млрд руб.).

Далее рассмотрим некоторую модель экономического роста, предложенную Е.Д. Домаром. Основные допущения этой моде сформулированы ниже.

1 . Всякое изменение величины скорости денежного потока I(t) влияет как на совокупный спрос, так и на изменение объема производства.

2. Скорость изменения величины спроса Y(t) пропорциональна производной скорости денежного потока с коэффициентом пропорциональности K = 1/s, где s - предельная величина накопления. Это предположение можно записать в виде уравнения

3 Экономический потенциал к (т.е. величина стоимости това-которые можно произвести) пропорционален объему оборот-' средств К с коэффициентом пропорциональности р,  k = рК. Дифференцируя по t, получим

.

В модели Домара предполагается, что весь экономический по­тенциал полностью используется, иными словами, У = к. Диффе­ренцируя по t, получим

.

Подставляя  и  в , имеем

  = pI, .

Чтобы найти функцию I(t) из уравнения  = pI, , проинтегрируем обе части последнего равенства по t от 0 до t. Получим

, или ln|I(t)| = pst,

Откуда ln|I| = ln|I(0)| + pst. Потенцируя последнее равенство, получим окончательное выражение для I(t):

I(t) = I(0)e,

где I(0) – это скорость денежного потока в начальный момент времени.

Таким образом, для того чтобы поддерживать равновесие между объемом производимых благ и совокупным спросом на них, скорость денежного потока должна расти с экспоненциальной скоростью согласно формуле

I(t) = I(0)e

Если поверхность задана уравнением х = j (y, z), то ее площадь

Q =   dS, где D = пруoz Q.

Значит поверхностный интеграл по области Q мы можем свести к двойному по области D

  = .

Рассмотрим связь между интегралом по замкнутой поверхности и некоторым тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью.

Теорема. Если функции X (x, y, z), У (x, y, z), Z (x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области R, то имеет место формула

  = .

Эта формула называется формулой Остроградского.

 

 

Рекомендации по решению типовых задач

Задача 1. Вычислить , где Q – часть плоскости x + 2y + 3z = 6, расположенная в I октанте.

 


Решение.

x

 

x

 
 


Построим плоскость Q, записав ее уравнение в отрезках на осях координат:   = 1. Спроектируем плоскость Q на координатную плоскость ХОУ. Получим треугольник D, ограниченный линиями х + 2у = 6, x = 0, y = 0. Элемент поверхности dq находим по формуле:

dq =  dx dy.

Из уравнения плоскости выразим z =  (6 – x – 2y).

Найдем   = -  ,  = - .

Тогда dq =  dx dy =  dx dy.

Вычисление поверхностного интеграла по поверхности Q сводится к вычислению двойного интеграла по проекции D. Поэтому

  =   dx dy =

=    =    =

=     dx = 3  dx =

= 3   = 54.

 

 

Задача 2. Найти площадь части параболоида 

z = 2 -  ,  расположенной под плоскостью хоу.

Решение.

Для вычисления площади поверхности используем формулу S = . Из уравнения параболоида найдем

  = -х,  = -у dq =   dx dy

S =  =   dx dy.

Так как область D – круг, то перейдем к полярным координатам х2 + у2 = r2, dx dy = r dr dj.

S =   dr =  =

=   (5 - 1)  =  (5 - 1) j  =  (5 - 1).

 

 

Задача 3. Найти массу полусферы  z =  , если плотность равна расстоянию до плоскости xoz.

Решение. m = , где r = у

  = -  ,  = -

d q =   dx dy =

=  dx dy = .

m =  = R   =

= 4R j dj  =  =

= 4R j dj t dt =

=   sin j dj =

=  sin j dj = 2 R3 ×  j dj =

= p R3 (- cos j)  = p R3.

 

 

Задача 4. C помощью формулы Остроградского вычислить интеграл , где Q- поверхность пирамиды, грани которой заданы уравнениями

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1, а a, b, g - углы, которые внешняя нормаль к поверхности образует с осями Ох, Oy, Oz.

Решение. Поверхность Q образована четырьмя плоскостями, поэтому нам пришлось бы вычислять четыре поверхностных интеграла, чтобы получить интеграл по Q. Но так как поверхность Q замкнутая, то по формуле Остроградского поверхностный интеграл по Q можно заменить тройным интегралом по объему R, ограниченному поверхностью Q.

Запишем формулу Остроградского

  = .

В нашем примере Х = ху, У = yz, Z = xz.

Найдем  = у,  = z,  = x.

  = .

Тело R изображено на рисунке.

 


По известному правилу расставляем пределы в тройном интеграле:

  =    =

=    dy =

=    dy =

=   dx =

= dx =    = .

 
Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач