Тройные и n-кратные интегралы

Китайская народная медицина

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Машиностроительное черчение
Выполнение сечений
Правила выполнения технических чертежей
Виды аксонометpических пpоекций
Эскиз детали
Нанесение размеров на чертежах
Чтение сборочных чертежей
Основные способы проецирования
Сопротивление материалов
Сопромат задачи
Сопротивление материалов примеры
Кинематика примеры решения задач
Статика примеры решения задач
Физика, электротехника
Электротехника
Электромагнетизм
Расчет режимов трехфазных цепей
Расчет электрических цепей постоянного и переменного тока
Методы расчета электрических цепей
Примеры  решения типовых задач по электротехнике
Физика оптика Курс лекций
Примеры решения задач по классической физике
Примеры решения задач контрольной работы по физике
Физика решение задач
Молекулярная физика и термодинамика
Курс лекций по атомной физике
Ядерная модель атома
Квантовая механика
Рентгеновские спектры
Первый газовый лазер
Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории.
Полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы)
Радиоактивное излучение и его виды
Ядерные реакция

Понятие о ядерной энергетике

Информатика
Лекции Java
Язык JavaScript
Интернет
Язык PHP
Архитектура ПК
Высшая математика
Вычисление интегралов и рядов
Примеры вычисления интеграла
Примеры выполнения контрольной работы по математике
комплексные числа
Последовательности
Предел функции
Непрерывные функции
Дифференциальное исчисление
Формула Тейлора
Определенныеинтегралы
Двойной интеграл
Тройные интеграл
Криволинейные интегралы
Элементы теории поля
Интегралы от параметра
Элементы тензорного
исчисления
Примеры решения задач
Теория множеств
Построения графика функции
Элементарная математика
Интегралы
Кратные интегралы
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Интегральное исчисление
Дифферинциальные урав.
Элементарная математика
Математический анализ
Мат. анализа часть 3
Комплексные числа
 

 

 

Определение тройного и n-кратного интеграла

Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда

Сведение тройного интеграла к повторному для областей общего вида

Замена переменных в тройном интеграле

Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве

Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пример Цилиндрические координаты

Пример 2. Сферические координаты

Замена переменных в общем случае

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченн кривой у = f(х) ≥ 0 и прямыми у = 0, х = а, х = b) (рис 17).

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна ( = const). Тогда масса всей пластинки равна  т. е. . Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

Тогда масса его равна . Центр тяжести  прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка  отстоит от оси Ох на Ѕy, а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии х+ ½Δx ). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения

 и

Следовательно,

По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(x;y), что  .

Отсюда

  и

или

x,.

 

 

 

 

Пример. Найдем координаты центра тяжести полукруга  ( = const) (рис 18).

[5]

Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Oy), что . Площадь полукруга равна . Находим Sx:

Стало быть,

Итак, центр тяжести имеет координаты С(0;)

 

 

Интегральное исчисление в биологии

Численность популяции.

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия су­ществования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в едини­цу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В “старых”, уста­новившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными по­пуляциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмеша­тельство человека, то v (t) может значительно колебаться, умень­шаясь или увеличиваясь.[1]

Если известна скорость роста популяции v t/), то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v(t) следует, что эта функ­ция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообраз­ной для v (t). Поэтому

N(t) – N(t) = .

Известно, что в условиях неограниченных ресурсов  питания

скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v(t) = ае. Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:

N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)

По формуле, подобной N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)

, подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.[1]


 

Биомасса популяции.

Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.

Пусть   означает возраст в тех или иных единицах времени, а N () — число особей популяции, возраст которых равен . Пусть, наконец, P () — средняя масса особи возраста , а М () — био­масса всех особей в возрасте от 0 до .[1]

Заметив, что произведение N() P () равно биомассе всех осо­бей возраста , рассмотрим разность

M( + Δ) – M(),

где Δ>0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех осо­бей в возрасте от  до  + Δ, удовлетворяет неравенствам:

N () Р ( ≤ M ( + Δ) – M () ≤ N()P(,

где N () Р () — наименьшее, а - N()P() — наибольшее значения функции N () Р () на отрезке [, + Δ]. Учитывая, что Δ>0, из неравенств N () Р ( ≤ M ( + Δ) – M () ≤ N()P(,

имеем:

N () Р () ≤ ≤ N()P()

Из непрерывности функции N () Р () (ее непрерывность следует из непрерывности N ()  и Р () ) следует, что

[N () Р ()] =  [N()P()] = N () Р ()

Поэтому будем иметь:

 = N () Р ()

или

  = N () Р ()

Следовательно, биомасса М () является перво­образной для N () Р (). Отсюда:

M(T) – M(0) =  N () Р ()dt

Рис 19

 
где Т — максимальный возраст особи в данной популяции. Так как М (0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем:

М(Т)=   N () Р ()dt

 

 

Средняя длина пролета.

  В некоторых исследованиях необхо­димо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. При­ведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса R. Будем считать, что R не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.

Птица может под любым углом в любой точке пересечь окруж­ность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до 2Я,. Нас интересует средняя длина пролета. Обозначим ее через.[1]

Так как круг симметричен относительно любого своего диамет­ра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые ле­тят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета — это среднее расстоя­ние между дугами АСВ и АСВ. Иными словами, это среднее зна­чение функции f(х) — f(х), где у = f(х) — уравнение верхней дуги, а у = f2(х) — уравнение нижней дуги, т. е.

L =

или 

L = .

Так как

равен площади криволинейной трапеции аАСВb), а

равен площади криволинейной трапеции аАСВb, то их разность равна площади круга, т. е. R2. Разность b — а равна, очевидно, 2R. Подставив это в L = .

, получим:

L =   = R.

Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла в биологии.[1]

 

 

Интегральное исчисление в экономике

В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемы предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией у =f(x), рассматривают ее производную f'x. Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С = С(q), то предельные издержки будут за­даваться производной этой функции МС = С'(q). Ее экономический смысл - это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функ­цию издержек по данной функции предельных издержек.[6]

Пример. Дана функция предельных издержек МС = Зq2 – 48q + 202, 1 ≤ q ≤ 20. Найти функцию издержек С = С(q) и вычис­лить издержки в случае производства 10 единиц товара, если из­вестно, что издержки для производства первой единицы товара со­ставили 50 руб.[4]

Решение. Функцию издержек находим интегрированием:

C(q ) = ,

где константа Со находится из данного условия С( 1) = 50, так что С0 = 50, поскольку интеграл обращается в нуль. Интегрируя, полу­чим функцию издержек

C(q) = q.

Подставляя q = 10 в полученную формулу, находим искомое значение

С(10) = 670.

Еще одним примером приложения определенного интеграла является нахождение дисконтированной стоимости денежного потока.

Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени t = 1, 2, 3, ... задана величина денежного потока R((t). Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R(1), R(2), R(3), ... найдем по известным формулам:

R(1)(1 + p), R(2)(1 + p), R(3)(1 + p), … .

Тогда дисконтированную стоимость денежного потока найдем, суммируя эти величины:

П = ,

где п - общее число периодов времени.

В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента времени 0 ≤ t ≤ Т, где [0, T] - рассматриваемый период времени, задана величина I(t) - скорость изменения денеж­ного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от t до t + dt приближенно равна I(t)dt. Для получения ве­личины П изменим формулу П = .А именно, знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формула П = , примет следую­щий вид:

П = .

 

 

 

Пример. Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t2 +20t +5 (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. [4]

Решение. По формуле П =  имеем

П = .

Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной:

s = -0,05t,  t = -20s, dt = -20ds.

При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены: s = 0, s = -1. Имеем

-

П = -20(- 400s2 – 400s + 5)e = 20  (- 400s2 – 400s +5)eds.

К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая и = -400s - 400s + 5, dи = (-800s - 400)ds, dv = eds, v= е. Поэтому

П = 20 ((-400s2 - 400s + 5)е + е(800s + 400)ds .

В первом слагаемом подставим пределы интегрирования, а ко вто­рому слагаемому еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая и = 800s + 400, dи = 800ds. Имеем

П = 20 (5 – 5e + (800s + 400)e800eds) =

= 20(5 - 5е - 1 +400 + (800 - 400)e - 1 - 800 + 800е - 1) =

 = 20(1195е- 1 -395).

Окончательно получим П = 892 (млрд руб.).

Далее рассмотрим некоторую модель экономического роста, предложенную Е.Д. Домаром. Основные допущения этой моде сформулированы ниже.

1 . Всякое изменение величины скорости денежного потока I(t) влияет как на совокупный спрос, так и на изменение объема производства.

2. Скорость изменения величины спроса Y(t) пропорциональна производной скорости денежного потока с коэффициентом пропорциональности K = 1/s, где s - предельная величина накопления. Это предположение можно записать в виде уравнения

3 Экономический потенциал к (т.е. величина стоимости това-которые можно произвести) пропорционален объему оборот-' средств К с коэффициентом пропорциональности р,  k = рК. Дифференцируя по t, получим

.

В модели Домара предполагается, что весь экономический по­тенциал полностью используется, иными словами, У = к. Диффе­ренцируя по t, получим

.

Подставляя  и  в , имеем

  = pI, .

Чтобы найти функцию I(t) из уравнения  = pI, , проинтегрируем обе части последнего равенства по t от 0 до t. Получим

, или ln|I(t)| = pst,

Откуда ln|I| = ln|I(0)| + pst. Потенцируя последнее равенство, получим окончательное выражение для I(t):

I(t) = I(0)e,

где I(0) – это скорость денежного потока в начальный момент времени.

Таким образом, для того чтобы поддерживать равновесие между объемом производимых благ и совокупным спросом на них, скорость денежного потока должна расти с экспоненциальной скоростью согласно формуле

I(t) = I(0)e

Если поверхность задана уравнением х = j (y, z), то ее площадь

Q =   dS, где D = пруoz Q.

Значит поверхностный интеграл по области Q мы можем свести к двойному по области D

  = .

Рассмотрим связь между интегралом по замкнутой поверхности и некоторым тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью.

Теорема. Если функции X (x, y, z), У (x, y, z), Z (x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области R, то имеет место формула

  = .

Эта формула называется формулой Остроградского.

 

 

Рекомендации по решению типовых задач

Задача 1. Вычислить , где Q – часть плоскости x + 2y + 3z = 6, расположенная в I октанте.

 


Решение.

x

 

x

 
 


Построим плоскость Q, записав ее уравнение в отрезках на осях координат:   = 1. Спроектируем плоскость Q на координатную плоскость ХОУ. Получим треугольник D, ограниченный линиями х + 2у = 6, x = 0, y = 0. Элемент поверхности dq находим по формуле:

dq =  dx dy.

Из уравнения плоскости выразим z =  (6 – x – 2y).

Найдем   = -  ,  = - .

Тогда dq =  dx dy =  dx dy.

Вычисление поверхностного интеграла по поверхности Q сводится к вычислению двойного интеграла по проекции D. Поэтому

  =   dx dy =

=    =    =

=     dx = 3  dx =

= 3   = 54.

 

 

Задача 2. Найти площадь части параболоида 

z = 2 -  ,  расположенной под плоскостью хоу.

Решение.

Для вычисления площади поверхности используем формулу S = . Из уравнения параболоида найдем

  = -х,  = -у dq =   dx dy

S =  =   dx dy.

Так как область D – круг, то перейдем к полярным координатам х2 + у2 = r2, dx dy = r dr dj.

S =   dr =  =

=   (5 - 1)  =  (5 - 1) j  =  (5 - 1).

 

 

Задача 3. Найти массу полусферы  z =  , если плотность равна расстоянию до плоскости xoz.

Решение. m = , где r = у

  = -  ,  = -

d q =   dx dy =

=  dx dy = .

m =  = R   =

= 4R j dj  =  =

= 4R j dj t dt =

=   sin j dj =

=  sin j dj = 2 R3 ×  j dj =

= p R3 (- cos j)  = p R3.

 

 

Задача 4. C помощью формулы Остроградского вычислить интеграл , где Q- поверхность пирамиды, грани которой заданы уравнениями

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1, а a, b, g - углы, которые внешняя нормаль к поверхности образует с осями Ох, Oy, Oz.

Решение. Поверхность Q образована четырьмя плоскостями, поэтому нам пришлось бы вычислять четыре поверхностных интеграла, чтобы получить интеграл по Q. Но так как поверхность Q замкнутая, то по формуле Остроградского поверхностный интеграл по Q можно заменить тройным интегралом по объему R, ограниченному поверхностью Q.

Запишем формулу Остроградского

  = .

В нашем примере Х = ху, У = yz, Z = xz.

Найдем  = у,  = z,  = x.

  = .

Тело R изображено на рисунке.

 


По известному правилу расставляем пределы в тройном интеграле:

  =    =

=    dy =

=    dy =

=   dx =

= dx =    = .

 
Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач