Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Вычисление двойных интегралов

Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию

Рассмотрим область D={(x,y)½ y1(x) £ y £ y2(x),xÎ[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на [a,b]. Области такого вида будем называть областями типа A (см. ср1_6_2.swf). Области вида D={(x,y)½ x1(y) £ x £ x2(y),yÎ[c,d]}, где x1(y), x2(y) – непрерывные функции на [c,d] называются областями типа B (см. ср1_6_2.swf).

Теорема. Если для области типа A существуют  и для "xÎ[a,b], то существует  и

=. Примеры решения задач курс лекций Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Интегральное исчисление.

Доказательство. Пусть D={(x,y)½ y1(x) £ y £ y2(x),xÎ[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на [a,b]. Рассмотрим функцию

f *(x,y) = ,

где R=[A,B]´[C,D] прямоугольник содержащий область D. Для функции f * выполнены условия предыдущей теоремы, поэтому

=. Методика решения задач физика Кинематика Динамика Электростатика

Далее = =,= откуда и следует требуемое равенство. Аналогично доказывается

Теорема. Если для области типа B существуют  и для "yÎ[c,d], то существует  и

=.

График функции нескольких переменных Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Пример 5. Вычислим определенный интеграл двумя способами.

Очевидно,  с другой стороны, если под знаком интеграла построить дробь, в знаменателе ввести функцию тождественно равную единице и применить формально тригонометрическую подстановку, то получим другой результат

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная новая переменная t= tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач