Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Вычисление двойных интегралов Интегрирование по прямоугольнику.

Рассмотрим прямоугольник D=[a,b]´[c,d]={(x,y)|a £ x £ b, c £ y £ d }.

Теорема. Если f интегрируема на D и для "x существует =J(x), то существует и  и выполнено равенство

==. Примеры решения задач курс лекций Производные и дифференциалы функций нескольких переменных Интегральное исчисление.

Доказательство. Для заданных разбиений Dx={a=x0<…<xn=b}, Dy={c=y0<…<ym=d} рассмотрим разбиение D ={ Dij} области D, где Dij=[xi,xi+1]´ [yj, yj+1], введем обозначения mij=, Mij=, X={(xi, hj)}, xiÎ[xi, xi+1], hjÎ[yj, yj+1], Dxi=xi+1 – xi, Dyj=yj+1-yj . Тогда будут выполнены неравенства

mij £ f(x,y) £ Mij для (x,y)ÎDij (1)

mij Dyj £  £ Mij Dyj (2) Потенциал Методика решения задач физика

  £  £  (3)

Умножая неравенства (3) на Dxi и суммируя, получим

mij Dxi Dyj £ Dxi £ Mij Dxi Dyj .

При l(D)®0 суммы слева и справа (суммы Дарбу) будут сходиться к интегралу , средняя сумма представляет собой интегральную сумму для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Замечание. Аналогичное утверждение получается, если поменять местами x,y. Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Если f интегрируема на D и для "y существует =I(y), то существует и  и выполнено равенство

==.

Следствие (перемена порядка интегрирования). Если f интегрируема на D и для "y существует =I(y), "x существует =J(x), то существуют,  и выполнено равенство

==.

Пример 3. Вычислить определенный интеграл заменой переменной

Пример 4. Вычислить определенный интеграл .

= = = = =.

 

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция должна быть определена, непрерывна и дифференцируема на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду. 

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач