Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

 

  Интегралы, зависящие от параметра

Бета функция Эйлера В(p,q) = , p > 0 , q >0 .

Сделаем замену  , dx = .

В(p,q) = =. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями Примеры решения задач типового расчета

В(p,q) =   (2)

Некоторые свойства функций Эйлера

Из формулы (1) следует, что

, . Интегрируя, получим  . Откуда, используя (2) Функции комплексной переменной Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Г В(p,q) = Г  Г .

В(p,1-p) = Г  Г ==.

 

Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).

Интеграл  сходится равномерно на любом [e , A ], 0 < e < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Рассмотрим интеграл .

В окрестности нуля |ln x| £ для e > 0 существует C1(e).

В окрестности бесконечности |ln x| £ для e > 0 существует C2(e).

Интеграл Г(k)(p)=  сходится равномерно на любом компакте. Это следует из оценок £+ , pÎ[e , A]. Здесь для степеней логарифма справедливы оценки:

В окрестности нуля интеграл  сходится при 0<a<1, действительно т. к. xb-alnkx = .

В окрестности бесконечности  сходится, действительно

xA-1|ln k x| £ C xA т. к.   и кроме того .

Компакт-метод. Как уже отмечалось, метод квадратного корня применим только для систем с симметричной матрицей A.

Метод простых итераций Данный метод относится к приближенным методам решения систем линейных уравнений.

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой

.

  Построим график функции (рис. 3).

 y

 1

 -3p  -2p -p p 2p  3p x 

 Рис. 3

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Применяя формулы (2) и (3), находим коэффициенты Фурье

,

,

.

Разложение в ряд Фурье  имеет вид

.

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале

  формулой

 Построим график функции (рис. 4).

 


 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

 Рис. 4

Решение. Пользуясь формулами (9) и (10), полагая  и разбивая интервал интегрирования точкой  на две части, поскольку в каждой из них функция задана различными формулами, получим

 

.

При а – четном  и , при n – нечетном  и .

При n=0

,

 

 0

.

Искомое разложение данной функции имеет вид

.

Оно справедливо во всей области определения данной функции: в интервале   сумма ряда , в интервале  - . В точке разрыва ,

.

 

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач